小学数学研究

第一章小学数学概览

第一节作为数学基础和日常应用的小学数学

第二节小学数学的呈现方式

第三节小学数学中蕴涵的思想方法

第四节数学是一门研究“关系”的学问

第五节小学数学中的基本数学活动

第二章自然数系

第一节用“集合”语言解释自然数

第二节关于自然数l和0以及自然数的运算

第三节自然数的位置计数制

附录算盘的结构特点及其数学教育价值

第四节自然数的佩亚诺公理系统

第五节关于自然数教学的若干问题

第三章数的整除

第一节自然数的整除性

第二节公因数和公倍数

附录梅森质数、费马数与哥德巴赫猜想

第三节整数的非整除性

第四节余数与检验码

第四章分数

第一节从自然数系到有理数域

第二节分数的定义

第三节分数和等价类

第四节分数的四则运算

第五节小数和分数

第五章数的扩张

第一节数系扩充的原则

第二节整数环和有理数系

第三节实数系对极限运算封闭

第四节复数系对负数开方封闭

第五节数系的历史发展

第六章小学数学中的方程和函数思想

第一节关于“文字代表数”

第二节小学数学中的方程

第三节小学数学中的函数思想

第七章小学数学中的直观几何与演绎表述

第一节小学数学里的几何学知识概览

第二节直观几何

第三节几何图形的操作与欣赏

第四节关于小学数学中演绎成分

第五节垂直与平行

第八章长度、面积和体积

第一节度量几何概述

第二节“面积公理”与测度公理

第三节小学中求面积的方法研究

第四节周长与面积有关系吗？

第五节圆周率是无理数

第六节分形几何学

第九章小学数学中的几何变换

第一节全等变换：平移，旋转，反射

第二节图形的对称

第三节平面图形初等变换的数学研究

第四节小学几何变换教学问题研究

第十章小学数学中的概率统计

第一节概率统计：公民数学素质的重要组成部分

第二节概率的定义

第三节一般统计和数理统计

第四节数据与条形图、频数分布直方图

第五节平均数与数学期望

第六节数学期望的应用：风险

第七节一个统计研究的案例

第八节小学概率统计教学中一些容易混淆的问题

附录抽样调查的一个例子：我国的人口调查

第十一章小学数学中的文字型应用题

第一节数学应用的本质是数学建模

第二节小学数学中的算术模型与代数模型

第三节小学数学中的三种基本代数模型

第四节应用题和“问题解决”教学

第五节应用题解法策略探索

第六节新兴的开放型应用题的求解

第十二章100个小学数学问题

后记

　　小学数学教师职前学习的数学内容，已经包括微积分、线性代数、概率统计这样近现代的数学内容。但是，小学数学并不包括微积分等，而依然是以整数、小数、分数的计算，概率统计的初步了解，以及简单几何图形的认识为主体。如何居高临下地用现代数学观点阐述小学数学内容呢？这就是本书的目的。具体说来，有以下三个方面的内容：首先，要补充构建小学数学的相对严密的框架。实际上，限于小学生的年龄特征，小学数学教材里的数学知识不可能是严密的。但是，教师应当大体知道它们的逻辑结构，包括公理化的处理方法，领会现代数学的思想，能够比较准确地把握数学本质。其次，小学数学出现了一些“与时俱进”的新的数学问题，需要介绍。第三类问题，则是涉及教学处理的有关问题。　　本书是“数学教育系列教材”（普通高等教育“十一五”国家级规划教材）之一，本书以小学数学内容为研究对象，从数学上居高临下地进行分析、拓宽和提高，旨在帮助小学教师加深对小学数学教学内容的理解。本书密切联系小学教学实际，构建小学数学相对严密的框架，介绍和处理“与时俱进”的一些新的数学问题以及为小学教材处理提供合理的教学建议等。　　本书可以作为高等师范院校小学数学教育专业教材，也非常适合作为小学数学教师培训提高的教材，以及在职教师进修的参考书。