线性代数与几何

预备知识

数域

第1章行列式

1.1n阶行列式的定义

1.1.1二阶行列式与三阶行列式

1.1.2排列

1.1.3n阶行列式的定义

1.2行列式的性质及应用

1.2.1行列式的性质

1.2.2用性质计算行列式的例题

1.3行列式的展开定理

1.3.1行列式的展开公式

1.3.2利用展开公式计算行列式的例题

1.4克莱姆法则及其应用

1.4.1克莱姆法则

1.4.2克莱姆法则的应用

习题1

第2章矩阵

2.1解线性方程组的高斯消元法

2.1.1线性方程组

2.1.2高斯消元法

2.1.3齐次线性方程组

2.2矩阵及其运算

2.2.1矩阵的概念

2.2.2矩阵的代数运算

2.2.3矩阵的转置

2.3逆矩阵

2.3.1方阵乘积的行列式

2.3.2逆矩阵的概念与性质

2.3.3矩阵可逆的条件

2.4分块矩阵

2.5矩阵的初等变换

2.5.1矩阵的初等变换和初等矩阵

2.5.2矩阵的相抵和相抵标准形

2.5.3用初等变换求逆矩阵

2.5.4分块矩阵的初等变换

习题2

第3章几何空间中的向量

3.1向量及其运算

3.1.1向量的基本概念

3.1.2向量的线性运算

3.1.3共线向量、共面向量

3.2仿射坐标系与直角坐标系

3.2.1仿射坐标系

3.2.2用坐标进行向量运算

3.2.3向量共线、共面的条件

3.2.4空间直角坐标系

3.3向量的数量积、向量积与混合积

3.3.1数量积及其应用

3.3.2向量积及其应用

3.3.3混合积及其应用

3.4平面与直线

3.4.1平面方程

3.4.2两个平面的位置关系

3.4.3直线方程

3.4.4两条直线的位置关系

3.4.5直线与平面的位置关系

3.5距离

3.5.1点到平面的距离

3.5.2点到直线的距离

3.5.3异面直线的距离

习题3

第4章向量空间Fn

4.1数域F上的n维向量空间

4.1.1n维向量及其运算

4.1.2向量空间Fn的定义和性质

4.2向量组的线性相关性

4.2.1线性相关的概念

4.2.2线性相关、线性无关的进一步讨论

4.3向量组的秩

4.3.1向量组的线性表出

4.3.2极大线性无关组

4.3.3向量组的秩的概念及性质

4.4矩阵的秩

4.4.1矩阵秩的引入及计算

4.4.2秩的性质

4.5齐次线性方程组

4.5.1齐次线性方程组有非零解的充要条件

4.5.2基础解系

4.6非齐次线性方程组

4.6.1非齐次线性方程组有解的条件

4.6.2非齐次线性方程组解的结构

习题4

第5章线性空间

5.1数域F上的线性空间

5.1.1线性空间的定义

5.1.2线性相关与线性无关

5.1.3基、维数和坐标

5.1.4过渡矩阵与坐标变换

5.2线性子空间

5.2.1线性子空间的概念

5.2.2子空间的交与和

5.2.3子空间的直和

5.3线性空间的同构

5.4欧几里得空间

5.4.1内积

5.4.2标准正交基

5.4.3施密特正交化

5.4.4正交矩阵

5.4.5可逆矩阵的QR分解

5.4.6正交补与直和分解

习题5

第6章线性变换

6.1线性变换的定义和运算

6.1.1线性变换的定义和基本性质

6.1.2线性变换的运算

6.2线性变换的矩阵

6.2.1线性变换在一组基下的矩阵

6.2.2线性变换与矩阵的一一对应关系

6.2.3线性变换的乘积与矩阵乘积之间的对应

6.3线性变换的核与值域

6.3.1核与值域

6.3.2不变子空间

6.4特征值与特征向量

6.4.1特征值与特征向量的定义与性质

6.4.2特征值与特征向量的计算

6.4.3特征多项式的基本性质

6.5相似矩阵

6.5.1线性变换在不同基下的矩阵

6.5.2矩阵的相似

6.5.3相似矩阵的性质

6.5.4矩阵的相似对角化

6.5.5实对称矩阵和对角化

习题6

第7章二次型与二次曲面

7.1二次型

7.1.1二次型的定义

7.1.2矩阵的相合

7.2二次型的标准形

7.2.1主轴化方法

7.2.2配方法

7.2.3矩阵的初等变换法

7.3惯性定理和二次型的规范形

7.4实二次型的正定性

7.5曲面与方程

7.5.1球面方程

7.5.2母线与坐标轴平行的柱面方程

7.5.3绕坐标轴旋转的旋转面方程

7.5.4空间曲线的方程

7.6二次曲面的分类

7.6.1椭球面

7.6.2单叶双曲面

7.6.3双叶双曲面

7.6.4锥面

7.6.5椭圆抛物面

7.6.6双曲抛物面

7.6.7一般二次方程的化简

习题7

附录A集合与关系

附录B集合的分类与等价关系

附录C映射与代数系统

习题提示与答案

索引

本书的核心内容包括矩阵理论以及线性空间理论，分上、下两册出版，对应于两个学期的教学内容．上册系统地介绍线性代数与空间解析几何的基本理论和方法，具体包括行列式、矩阵、几何空间中的向量、向量空间Fn、线性空间、线性变换、二次型与二次曲面共7章内容．本书将空间解析几何与线性代数密切地联系在一起，层次清晰，论证严谨，例题典型丰富，习题精练适中．本书可作为高等院校理、工、经管等专业的教材及教学参考书，也可供自学读者及有关科技人员参考．