应用微积分

第1章 函数、极限与连续／1

1.1 函数／1

1.1.1 函数的概念／1

1.1.2 函数的几种常见性态／4

1.1.3 复合函数与反函数／5

1.1.4 初等函数与非初等函数／7

习题1-1／9

1.2 极限／10

1.2.1 极限概念引例／11

1.2.2 自变量趋于有限值时函数的极限／12

1.2.3 自变量趋于无穷大时函数的极限／15

1.2.4 数列的极限／17

1.2.5 无穷小与无穷大／18

习题1-2／19

1.3 极限的性质与运算／20

1.3.1 极限的几个性质／20

1.3.2 极限的四则运算法则／21

1.3.3 夹逼法则／23

1.3.4 复合运算法则／26

习题1-3／28

1.4 单调有界原理和无理数e／29

1.4.1 单调有界原理／29

1.4.2 极限limfl+1／X=e／30

1.4.3 指数函数e，对数函数InX／32

习题1-4／32

1.5 无穷小的比较／33

1.5.1 无穷小的阶／33

1.5.2 利用等价无穷小代换求极限／35

习题1-5／36

1.6 函数的连续与间断／37

1.6.1 函数的连续与间断／37

1.6.2 初等函数的连续性／41

习题1-6／44

1.7 闭区间上连续函数的性质／45

1.7.1 闭区间上连续函数的有界性与最值性质／45

1.7.2 闭区间上连续函数的介值性质／46

习题1-7／48

1.8 应用实例阅读／49

复习题一／54

参考答案与提示／56

第2章 一元函数微分学及其应用／58

2.1 导数的概念／58

2.1.1 变化率问题举例／58

2.1.2 导数的概念／60

2.1.3 用定义求导数举例／61

2.1.4 导数的几何意义／64

2.1.5 函数可导性与连续性的关系／64

2.1.6 导数概念应用举例／65

习题2-1／66

2.2 求导法则／68

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则／68

2.2.2 复合函数的求导法则／70

2.2.3 反函数的求导法则／73

2.2.4 一些特殊的求导法则／74

习题2-2／78

2.3 高阶导数与相关变化率／80

2.3.1 高阶导数／80

2.3.2 相关变化率／83

习题2-3／84

2.4 函数的微分与函数的局部线性逼近／85

2.4.1 微分的概念／85

2.4.2 微分公式与运算法则／88

2.4.3 微分的几何意义及简单应用／90

习题2-4／91

2.5 利用导数求极限——洛必达法则／92

2.5.0／0_型未定式的极限／92

2.5.2 型未定式的极限／94

2.5.3 其他类型未定式的极限／95

习题2-5／96

2.6 微分中值定理／97

2.6.1 罗尔定理／98

2.6.2 拉格朗日中值定理／99

2.6.3 柯西中值定理／101

习题2-6／103

2.7 泰勒公式——用多项式逼近函数／103

2.7.1 泰勒多项式与泰勒公式／104

2.7.2 常用函数的麦克劳林公式／106

习题2-7／109

2.8 利用导数研究函数的性态／110

2.8.1 函数的单调性／110

2.8.2 函数的极值／112

2.8.3 函数的最大值与最小值／114

2.8.4 曲线的凹凸性与拐点／116

2.8.5 曲线的渐近线，函数作图／118

习题2-8／120

2.9 应用实例阅读／121

复习题二／125

参考答案与提示／127

第3章 一元函数积分学及其应用／132

3.1 定积分的概念、性质、可积准则／132

3.1.1 定积分问题举例／132

3.1.2 定积分的概念／134

3.1.3 定积分的几何意义／135

3.1.4 可积准则／136

3.1.5 定积分的性质／136

习题3-1／139

3.2 微积分基本定理／140

3.2.1 牛顿一莱布尼兹公式／141

3.2.2 原函数存在定理／142

习题3-2／145

3.3 不定积分／146

3.3.1 不定积分的概念及性质／146

3.3.2 基本积分公式／147

3.3.3 积分法则／148

习题3-3／159

3.4 定积分的计算／161

3.4.1 定积分的换元法／161

3.4.2 定积分的分部积分法／164

习题3-4／166

3.5 定积分应用举例／166

3.5.1 总量的可加性与微元法／167

3.5.2 几何应用举例／167

3.5.3 物理、力学应用举例／173

3.5.4 函数的平均值／176

习题3-5／176

3.6 反常积分／178

3.6.1 无穷区间上的反常积分／178

3.6.2 无界函数的反常积分／180

习题3-6／182

3.7 应用实例阅读／183

复习题三／186

参考答案与提示／188

第4章 微分方程／192

4.1 微分方程的基本概念／192

习题4-1／194

4.2 某些简单微分方程的初等积分法／195

4.2.1 一阶可分离变量方程／195

4.2.2 一阶线性微分方程／197

4.2.3 利用变量代换求解微分方程／199

4.2.4 某些可降阶的高阶微分方程／202

习题4-2／203

4.3 建立微分方程方法简介／204

习题4-3／208

4.4 二阶线性微分方程／209

4.4.1 线性微分方程通解的结构／209

4.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法／212

4.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法／213

习题4-4／217

4.5 应用实例阅读／217

复习题四／225

参考答案与提示／227

附录／230

附录1 基本初等函数／230

附录2 极坐标系与直角坐标系／236

附录3 几种常见曲线／238

参考文献／240

微积分产生于17世纪，正值工业革命的盛世。航海造船业的兴起，机械制造业的发展，运河渠道的开掘，天文物理的研究诸多领域面临着许多亟待解决的应用难题，呼唤着新的数学理论和方法的出现。牛顿和莱布尼兹总结了数学先驱们的研究成果，集大成，创立了微积分，并直接将其应用于科研与技术领域，使科学技术呈现出突飞猛进的崭新面貌。可以说，微积分是继欧几里得几何以后全部数学中最伟大的创造。直至今日，作为数学科学的重要支柱，微积分仍保持着强大的生命力。