微分几何（第四版）学习指导与习题选解

第一部分 学习指导及习题

第一章 曲线论

§1 向量函数

1.1 向量函数的极限

1.2 向量函数的连续性

1.3 向量函数的微商及泰勒展开式

1.4 向量函数的积分

习题 1.1

§2 曲线的概念

习题 1.2

§3 空间曲线

3.1 空间曲线的密切平面

3.2 空间曲线的基本三棱形

3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式

3.4 空间曲线在一点邻近的结构

3.5 空间曲线论的基本定理

3.6 一般螺线

习题 1.3

§4 全章小结

第二章 曲面论

§1 曲面的概念

1.1 简单曲面及其参数表示

1.2 光滑曲面

1.3 曲面上的曲线族和曲线网

习题 2.1

§2 曲面的 第一基本形式

2.1 曲面的 第一基本形式 曲面上曲线的弧长

2.2 曲面上两方向的交角

2.3 正交曲线族和正交轨线

2.4 曲面域的面积

2.5 等距变换

2.6 保角变换

习题 2.2

§3 曲面的 第二基本形式

3.1 曲面的 第二基本形式

3.2 曲面上曲线的曲率

3.3 迪潘指标线

3.4 曲面的渐近方向和共轭方向

3.5 曲面的主方向和曲率线

3.6 曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率

3.7 曲面在一点邻近的结构

3.8 高斯曲率的几何意义

习题 2.3

§4 直纹面和可展曲面

4.1 直纹面

4.2 可展曲面

习题 2.4

§5 曲面论的基本定理

5.1 曲面的基本方程和克里斯托费尔符号

5.2 曲面的黎曼曲率张量和高斯-科达齐-迈因纳尔迪公式

5.3 曲面论的基本定理

习题 2.5

§6 曲面上的测地线

6.1 曲面上曲线的测地曲率

6.2 曲面上的测地线

6.3 曲面上的半测地坐标网

6.4 曲面上测地线的短程性

6.5 高斯-波涅公式

6.6 曲面上向量的平行移动

习题 2.6

§7 常高斯曲率的曲面

7.1 常高斯曲率的曲面

7.2 伪球面

7.3 罗氏几何

习题 2.7

§8 全章小结

第三章 外微分形式和活动标架

§1 外微分形式

1.1 格拉斯曼代数

习题 3.1.1

1.2 外微分形式

习题 3.1.2

1.3 弗罗贝尼乌斯定理

习题 3.1.3

§2 活动标架

2.1 合同变换群

2.2 活动标架

2.3 活动标架法

§3 用活动标架法研究曲面

习题 3.3

第四章 整体微分几何初步

§1 平面曲线的整体性质

1.1 旋转数

习题 4.1.1

1.2 曲线

习题 4.1.2

1.3 等周不等式

习题 4.1.3

1.4 四顶点定理

习题 4.1.4

1.5 等宽曲线

习题 4.1.5

1.6 平面曲线上的Crofton公式

习题 4.1.6

§2 空间曲线的整体性质

2.1 芬切尔定理

习题 4.2.1

2.2 球面上的Crofton公式

习题 4.2.2

2.3 Fary-Milnor定理

2.4 闭曲线的全挠率

习题 4.2.4

§3 曲面的整体性质

3.1 曲面的整体定义

3.2 曲面的一般性质

3.3 卵形面

习题 4.3.3

3.4 完备曲面

3.5 负常高斯曲率的曲面

习题 4.3.5

§4 完备曲面的比较定理

4.1 完备曲面的极坐标系

4.2 比较定理

4.3 完备曲面的比较定理

习题 4.4

第二部分 解题指导与答案

第一章 曲线论

习题 1.1

习题 1.2

习题 1.3

第二章 曲面论

习题 2.1

习题 2.2

习题 2.3

习题 2.4

习题 2.5

习题 2.6

习题 2.7

第三章 外微分形式和活动标架

习题 3.1.1

习题 3.1.2

习题 3.1.3

习题 3.3

第四章 整体微分几何初步

习题 4.1.1

习题 4.1.2

习题 4.1.3

习题 4.1.4

习题 4.1.5

习题 4.1.6

习题 4.2.1

习题 4.2.2

习题 4.2.4

习题 4.3.3

习题 4.3.5

习题 4.4

《微分几何（第4版）学习指导与习题选解》是学习《微分几何（第四版）》（梅向明、黄敬之编）的配套参考书。书中第一部分是学习指导及习题，指出各章节的理论要点，并通过例题提高读者对概念、定理的认知水平。第二部分是解题指导与答案，对各类习题给出了详尽的分析和规范的解题过程，以期提高读者的解题能力。
《微分几何（第4版）学习指导与习题选解》可供研读《微分几何（第四版）》的学生、教师，以及自学本课程的读者参考。