微分方程建模与分析

前言

第1章 预备知识

1.1 常微分方程的基本理论

1.1.1 稳定性理论

1.1.2 中心流形计算

1.1.3 分支

1.2 特征线方法

1.3 抽象泛函微分方程的稳定性定理和Hopf分支定理

1.4 二次指数多项式方程根的分布分析

1.5 全局Hopf分支

第2章 单种群模型

2.1 常微分方程和时滞微分方程模型

2.1.1 Malthus模型和Logistic模型

2.1.2 时滞Logistic模型

2.1.3 混合型模型

2.1.4 时滞Nicholson模型

2.2 齐次Neumann边界条件下具扩散的果蝇模型

2.2.1 模型的导出

2.2.2 动力学性质分析

2.2.3 数值模拟

2.3 齐次Dirichlet边界条件下的具扩散的模型

2.3.1 具扩散的Logistic模型

2.3.2 具扩散的混合型模型

第3章 捕食者一食饵模型

3.1 模型的建立

3.2 动力学性质分析

3.2.1 具Holling-I型功能反应函数的模型的动力学性质分析

3.2.2 具捕食者种群内竞争模型的动力学分析

3.2.3 具Holling-II型功能反应函数的模型的动力学分析

3.2.4 一个具捕食者种内竞争的时滞模型的动力学分析

第4章 传染病的仓室模型

4.1 常微分方程模型

4.1.1 SIR模型

4.1.2 考虑出生和死亡的SIR模型

4.1.3 SIS模型

4.1.4 接种疫苗模型

4.1.5 其他模型

4.2 具时滞的传染病模型

4.3 基本再生数

4.4 研究案例：抗药性对HIV大规模检测与治疗的影响的模型

4.4.1 HIV的发病机理与治疗

4.4.2 模型的建立

4.4.3 理论分析

4.4.4 数值计算

第5章 具空间结构的传染病模型

5.1 多种群模型

5.2 具年龄结构的传染病模型

5.3 研究案例：LLA杀虫剂对疟疾传播影响的模型

5.3.1 问题的来源

5.3.2 模型的导出

5.3.3 传统杀虫剂模型

5.3.4 LLA杀虫剂模型

5.3.5 数值计算与讨论

第6章 传染病模型中的统计方法

6.1 概率中的几个基本概念

6.2 敏感性与不确定性分析

6.3 极大似然估计

6.4 最小二乘法

第7章 化学反应模型建模分析

7.1 化学动力学及化学反应模型简介

7.2 全局稳定性

7.3 时滞导致反应扩散系统的不稳定性和Hopf分支

7.3.1 二次指数多项式方程根的分布分析

7.3.2 时滞反应扩散方程稳定性的一般框架

7.4 带有饱和项的Gierer-Meinhardt化学反应模型的分支分析

……

《微分方程建模与分析》主要通过对生物数学中的种群增长，传染病的传播和化学反应的建模及其动力学性质分析，以及数据处理和数值实现介绍微分方程建模的思想及研究方法.内容涉及单种群增长模型，捕食者-食饵模型，经典的传染病动力学模型，具时滞、年龄结构、空间分布等因素的传染病模型，还有经典的化学反应模型及具时滞的Gierer-Meinhardt化学反应模型等，对上述每个模型不仅给出了它们的导出，即建模过程，而且还进行了诸如稳态解的稳定性，Hopf分支的存在性及性质，分支周期解的大范围存在性等动力学性质分析.
　　《微分方程建模与分析》可以作为高等院校生物数学或微分方程方向硕士研究生的参考教材，其中部分内容也可以作为有关专业高年级本科生选修课的参考教材，还可供从事该领域研究的教师和科研人员参考.