计算机数值方法

第一章引论

§1计算机数值方法的研究对象与特点

§2数值方法的基本内容

2-1数值代数的基本工具与方法

2-2数值微积分的工具与方法

2-3计算机数值方法

§3数值算法及其设计

3-1算法设计

3-2算法表达法

§4误差分析简介

4-1误差的基本概念

4-2浮点基本运算的误差

4-3数值方法的稳定性与算法设计原则

内容与方法评注

习题一

第二章解线性方程组的直接法

§1直接法与三角形方程组的求解

§2Gauss列主元素消去法

2-1主元素的作用

2-2带有行交换的矩阵分解

2-3列主元消去法的算法设计

§3直接三角分解法

3-1基本的三角分解法

3-2部分选主元的Doolittle分解

§4平方根法

4-1对称正定矩阵的三角分解

4-2平方根法的数值稳定性

§5追赶法

内容与方法评注

习题二

第三章插值法与最小二乘法

§1插值法

11插值问题

12插值多项式的存在唯一性

13插值基函数及Lagrange插值

§2插值多项式中的误差

21插值余项

22高次插值多项式的问题

§3分段插值法

31分段线性Lagrange插值

32分段二次Lagrange插值

§4Newton插值

41均差

42Newton插值公式及其余项

43差分

44等距节点的Newton插值公式

45Newton插值法算法设计

§5Hermite插值

51两点三次Hermite插值

52插值多项式H，(z)的余项

53分段两点三次Hermite插值

54一般Hermite插值

§6三次样条插值

61三次样条函数

62三次样条插值多项式

63三次样条插值多项式算法设计

64三次样条插值函数的收敛性

§7数据拟合的最小二乘法

71最小二乘法的基本概念

72法方程组

73利用正交多项式作最小二乘拟合

内容与方法评注

习题三

第四章数值积分与微分

§1NewtonCotes公式

11插值型求积公式及Cotes系数

12低阶NewtonCotes公式的余项

13NewtonCotes公式的稳定性

§2复合求积法

21复合求积公式

22复合求积公式的余项及收敛的阶

23步长的自动选择

24复合Simpson求积的算法设计

§3Romberg算法

31复合梯形公式的递推化

32外推加速公式

33Romberg算法设计

§4Gauss求积法

41Gauss点

42基于Hermite插值的Gauss型求积公式

43Gauss型求积公式的数值稳定性

§5广义积分的数值方法

§6数值微分

61插值型求导公式

62样条求导公式

内容与方法评注

习题四

第五章常微分方程数值解法

§1引言

11基于数值微分的求解公式

12截断误差

13基于数值积分的求解公式

§2RungeKutta法

21RungeKutta法

22四阶RungeKutta算法

§3线性多步法

31开型求解公式

32闭型求解公式

§4常微分方程数值解法的进一步讨论

41单步法的收敛性与稳定性

42常微分方程组与高阶常微分方程的数值解法

43边值问题的数值解法

内容与方法评注

习题五

第六章逐次逼近法

§1基本概念

11向量与矩阵的范数

12误差分析介绍

§2解线性方程组的迭代法

21简单迭代法

22迭代法的收敛性

§3非线性方程的迭代解法

31简单迭代法

32Newton迭代法及其变形

33Newton迭代算法

34多根区间上的逐次逼近法

§4计算矩阵特征值问题

41求代数方程根的方法

42幂法

43反幂法

44反幂算法

45求矩阵特征值的QR法

§5迭代法的加速

51基本迭代法的加速(sOR法及其算法)

52Aitken加速

内容与方法评注

习题六

部分习题答案

附录数值实验

英汉人名对照表

参考书目

　　本书是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，第一版是普通高等教育“九五”国家级重点教材及面向21世纪课程教材。为适应现代计算机技术发展和变化的需要，本书在保留第二版的体系和风格的基础上，作了适当的修改和增删，增加了广义积分和求矩阵特征值的QR法，适当调整了实验和习题的内容，并对第二版中叙述和表达不妥之处进行了更正和修改。本书主要介绍计算机上求解各种数值问题的常用基本数值方法及其算法设计，包括解线性方程组的直接法，插值与最小二乘法，数值积分与微分(包括广义积分)，常微分方程数值解法，逐次逼近法(包括求线性、非线性方程和矩阵特征对的数值方法)等，内容与计算机的使用密切结合。　　本书可作为高等学校理工科非数学类专业计算方法课程的教材，也可作为工科专业硕士研究生的教材或教学参考书，并可供从事科学计算的科技工作者参考。