现代分析基础

第一章 抽象测度与积分

1 抽象测度

2 测度的性质

3 可测涵数

4 抽象积分

5 广义测度

6 可测函数的连续性

第二章 Lp空间

1 凸函数和不等式

2 Lp空间

3 连续函数逼近

4 Lp空间的可分性

5 对偶空间

第三章 Hilbert空间的初等理论

1 Hilbert空间的基本概念

2 线性算子

3 规范正交系

4 三角级数

第四章 Fourier交换

1 卷积

2 Fourier变换的概念及基本性质

3 反演定理

4 Plancheral定理

5 Fourier交换在偏微分方程中的应用

6 Banach代数L1（Rn）

第五章 微分学

1 连续映射的导数

2 中值定理及其应用

3 偏导数

4 测度的导数

第六章 Banach空间理论

1 Banach空间概念

2 开映射定理

3 闭图像定理

4 一致有界定理

5 Hahn-Banach定理

第七章 广义函数

1 基本函数空间（Rn）及广义函数

2 基本函数空间（Rn）及缓增广义函数

参考文献

《现代分析基础》包含七章，第一章从Lebesgue测度和Lebesgue积分出发介绍抽象测度和抽象积分，以及可测函数的连续性；第二章介绍Lp空间及其可分性和对偶空间，以及用连续函数逼近Lp空间元素；第三章介绍Hilbert空间上线性变换的表示，Hibeert空间中的规范正交系；作为例子，本章还介绍了三角级数，它是逼近论、小波分析的基础，另外，作为Riesz表示定理的应用之一，这里还介绍了广义测度的有关知识（这部分可作为选讲内容）；第四章主要讨论n维欧氏空间上的Fourier变换的概念及基本性质，以及Fourier变换在偏微分方程中的应用；第五章微分学是将数学分析中函数的微分概念推广到映射和测度中去，分别介绍了映射的导数、偏导数及高阶导数和测度的导数；第六章介绍Banach空间中的五大定理；最后一章介绍了广义函数。