微分流形基础

前言

第一章预备知识

§1．1拓扑空间

1．1．1拓扑空间的概念

1．1．2拓扑基

1．1．3连续映射和同胚

1．1．4连通性

1．1．5A2空间

1．1．6T2空间

1．1．7紧致性

§1．2向量值函数

1．2．1向量值函数的概念

1．2．2向量值函数的连续性

1．2．3向量值函数的可微性

1．2．4反函数定理

1．2．5秩定理

§1．3张量代数

1．3．1向量空问及其对偶空间

1．3．2张量的定义

1．3．3张量积运算

1．3．4对称和反对称协变张量

§1．4外代数

1．4．1外积

1．4．2外代数

1．4．3几个重要定理

问题与练习

第二章微分流形

§2．1微分流形的定义和例子

§2．2微分流形上的可微函数与可微映射

2．2．1可微函数

2．2．2流形问的可微映射

2．2．3流形上的光滑曲线

2．2．4流形间的光滑同胚

§2．3切空间和余切空间

2．3．1流形M在点p的切向量xP

2．3．2流形M在点p的切空间TP（M）

2．3．3流形M在点p的余切向量与余切空间

§2．4切映射与余切映射

2．4．1切映射

2．4．2余切映射

§2．5子流形

2．5．1光滑映射的进一步讨论

2．5．2子流形

问题与练习

第三章流形上的张量场

§3．1流形上的切向量场

3．1．1基本概念

3．1．2Poisson括号积

3．1．3光滑切向量场的积分曲线

3．1．4F-相关性

3．1．5单参数变换群

§3．2流形上点p的（r，s）型张量

3．2．1基本概念

3．2．3协变张量的张量积

3．2．3反称协变张量的外积及其性质

§3．3流形上的张量场

§3．4黎曼度量

问题与练习

第四章外微分形式的积分和Stokes定理

§4．1外微分形式

4．1．1s阶外微分形式

4．1．2外微分形式的外积

4．1．3外微分形式间的拉回映射

4．1．4Cartan定理

§4．2外微分算子d

§4．3外微分形式的积分Stokes定理

4．3．1流形的定向

4．3．2带边流形和它的定向

4．3．3流形上的m阶外微分形式∞的积分

与Stokes定理

问题与练习

第五章仿射联络空间

§5．1仿射联络

5．1．1仿射联络的定义及局部表示

5．1．2仿射联络的存在性定理

5．1．3仿射联络的挠率和曲率

5．1．4仿射联络的结构方程

§5．2仿射联络空间上张量场沿切向量场的共变导数

5．2．1切向量场Y沿切向量场X的共变导数

5．2．2余切向量场ω沿X方向的共变导数□xω

5．2．3（r，s）型张量场T沿切向量场x的共变导数□xT

§5．3仿射联络空间上张量场T的共变微分□r

§5．4Riemann流形上的Laplace算子

5．4．1Riemann度量诱导仿射联络

5．4．2□f的定义及局部表示

5．4．3散度、梯度和Laplace算子的性质

5．4．4Hopf引理

问题与练习

宋卫东编著的《微分流形基础》分为五章，第一章综述了阅读本书所必需的预备知识：点集拓扑学、张量代数、外代数等。第二章介绍了微分流形中最重要、最基本的概念，如光滑函数、切空间、切映射等，列举了大量的微分流形的例子。第三章讨论了流形上的张量场。第四章研究了外微分形式、外微分、外微分形式的积分及stokes定理。这些内容一方面是研究近代微分几何的基本工具，另一方面是研究流形整体性质的常用方法。第五章引进了流形上的仿射联络和流形上若干重要的微分算子，它们在许多分支学科中扮演重要的角色。各章末都附有问题与练习，其中有些是本书内容的补充和延伸。