复变函数与积分变换

第1章 复数与复变函数

1.1 复数

1.1.1 复数的概念

1.1.2 复数的四则运算

1.1.3 复数的表示法

习题1.1

1.2 复数的乘幂与开方

1.2.1 复数的乘幂

1.2.2 复数的开方

习题1.2

1.3 平面点集

1.3.1 复平面上的点集与区域

1.3.2 单连通区域与多（复）连通区域

习题1.3

1.4 复变函数

1.4.1 复变函数的概念

1.4.2 复变函数的几何表示

1.4.3 反函数与复合函数

习题1.4

1.5 复变函数的极限与连续

1.5.1 复变函数的极限

1.5.2 复变函数的连续性

习题1.5

复习题一

第2章 解析函数

2.1 复变函数的导数与解析函数的概念

2.1.1 复变函数的导数与微分

2.1.2 解析函数的概念

习题2.1

2.2 复变函数可导与解析的充要条件

习题2.2

2.3 解析函数与调和函数的关系

习题2.3

2.4 初等函数及其解析性

2.4.1 指数函数

2.4.2 对数函数

2.4.3 幂函数

2.4.4 三角函数

2.4.5 反三角函数

2.4.6 双曲函数与反双曲函数

习题2.4

复习题二

第3章 复变函数的积分

3.1 复积分的概念及其基本计算方法

3.1.1 复积分的定义

3.1.2 复积分的基本性质

3.1.3 复积分的存在定理及其基本计算方法

习题3.1

3.2 柯西积分定理与不定积分

3.2.1 柯西积分定理

3.2.2 不定积分

习题3.2

3.3 复合闭路定理

习题3.3

3.4 柯西积分公式与高阶导数

3.4.1 柯西积分公式

3.4.2 解析函数的高阶导数

3.4.3 柯西不等式与刘维尔（Liouville）定理

习题3.4

复习题三

第4章 级数

4.1 复数序列与复数项级数

4.1.1 复数序列

4.1.2 复数项级数

习题4.1

4.2 复变函数项级数

4.2.1 复变函数项级数的概念

4.2.2 幂级数

习题4.2

4.3 解析函数的泰勒展开式

习题4.3

4.4 解析函数的洛朗级数

4.4.1 洛朗级数

4.4.2 解析函数的洛朗展开式

习题4.4

复习题四

第5章 留数及其应用

5.1 解析函数的孤立奇点

5.1.1 孤立奇点的定义

5.1.2 孤立奇点的分类

5.1.3 孤立奇点∞的定义及分类

习题5.1

5.2 留数的定义及计算

5.2.1 留数的定义

5.2.2 留数的计算

5.2.3 留数定理及其应用

5.2.4 无穷远点的留数

习题5.2

5.3 留数在实变量积分计算中的应用

5.3.1 ∫=2π*R（cosθ，sinθ）dθ型积分

5.3.2 ∫=+∞*－∞f（x）dx型积分

5.3.3 ∫=+∞*－∞f（x）eiaxdx（a〉0）型积分

习题5.3

5.4 对数留数与辐角原理

5.4.1 对数留数

5.4.2 辐角原理

5.4.3 儒歇定理

习题5.4

复习题五

第6章 保形映射

6.1 解析函数导数的几何意义与保形映射的概念

6.1.1 解析函数导数的几何意义

6.1.2 保形映射的概念

习题6.1

6.2 分式线性映射及其应用

6.2.1 分式线性映射的概念

6.2.2 分式线性映射的分解

6.2.3 分式线性映射的性质

6.2.4 分式线性映射的应用

习题6.2

6.3 常见初等函数确定的映射

6.3.1 幂函数和根式函数所确定的映射

6.3.2 指数函数与对数函数所确定的映射

习题6.3

复习题六

第7章 傅里叶变换

7.1 傅里叶积分

7.1.1 周期函数的傅里叶级数

7.1.2 非周期函数的傅里叶积分公式

习题7.1

7.2 傅里叶变换的定义及性质

7.2.1 傅里叶变换的定义

7.2.2 傅里叶变换的性质

习题7.2

7.3 δ函数及其傅里叶变换

7.3.1 δ函数的定义

7.3.2 δ函数的性质

7.3.3 δ函数的傅里叶变换

习题7.3

复习题七

第8章 拉普拉斯变换

8.1 拉普拉斯变换的概念

8.1.1 问题的提出

8.1.2 拉普拉斯变换的定义

8.1.3 拉普拉斯变换的存在定理

8.1.4 周期函数的拉普拉斯变换

8.1.5 单位脉冲函数δ（t）的拉普拉斯变换

习题8.1

8.2 拉普拉斯逆变换

习题8.2

8.3 拉普拉斯变换的性质

习题8.3

8.4 拉普拉斯变换的应用

8.4.1 解线性微分方程和积分方程

8.4.2 解具有特殊扰动函数的微分方程

习题8.4

复习题八

第9章 数学实验

实验1 复变函数的微积分

实验2 留数的基本运算与闭曲线上的积分

实验3 傅里叶变换和拉普拉斯变换

参考答案

附录1 区域变换表

附录2 傅里叶变换简表

附录3 拉普拉斯变换简表

主要参考文献

《复变函数与积分变换/普通高等教育“十二五”规化教材》是根据普通高等学校本科专业对复变函数与积分变换课程的教学基本要求编写而成的。内容包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、保形映射、傅里叶变换、拉普拉斯变换及与这些内容相应的数学实验。书中每节后均配有一定数量的练习题，每章后配有复习题，书末配有习题参考答案，便于学生及时检验、巩固所学的基本概念和基本理论。
　　《复变函数与积分变换/普通高等教育“十二五”规化教材》可供普通高等学校非数学专业的学生使用，也可供自学者和科技工作者参考。