论无限

1两种对立的无限观

1.1引言

1.2自然数的无限性：两种对立的无限观

1.3关于两个问题的讨论和解答

1.4双相无限观与Hcgel命题

1.5无限观对数学发展的影响

2无限观与极限论

2.1数列极限的双相无限性

2.2数列极限的两种形态

2.3Brouwcr型实数的存在性问题

2.4Cantor对角线方法的本质

2.5无限观与函数极限概念

2.6关于极限可达到情形的讨论

3两种无限性对象的非标准数学模型

3.1引言

3.2略论“无限”概念蕴涵的矛盾

3.3非标准数域的构造方法

3.4非Cantor型自然数序列模型的构造法

3.5关于一个引伸的Zcno悖论的解释

3.6略论无限的两种形态

4论一种便于应用的非标准分析方法

4.1引言

4.2关于非标准分析方法特点的概述

4.3论R建模中的一个难点

4.4扩张与对应置换及NSA中的第二个难点

4.5怎样使非标准微积分变得容易些

4.6非标准微商概念与积分概念

4.7广义Duhareel原理

4.8微积分定理的非标准证明方法

4.9两种互反公式的一个统一模式

4.10略论直觉主义连续统特征的刻画问题

5论Cantor连续统与Poincare连续统

5.1引言

5.2Cantor连续统概念的得与失

5.3论密断统L△的意义与作用

5.4关于无限分划集的普遍命题及推论

5.5关于构筑Poincare连续统模型的问题

5.6Poincare连续统蕴涵的命题

5.7单子集分划概念的理论意义及应用

5.8本章理论内容的简要总结及哲学分析

附录简评数学基础诸流派及其无穷观与方法学

一诸流派产生的历史背景

二略谈Cantor的无限观和方法学

三逻辑主义派的观点和方法

四直觉主义派的观点和方法

五略论形式公理学派的观点和主张

六关于三大流派的简短评论

参考文献

　　为什么自然数的“无限性”竞能在人脑概念思维中产生截然不同的印象和观念。本书第1章对此问题做出了深入分析和解答。可能有人认为这并非问题的“最终解答”，那么好学深思的读者还可继续研究。第2章是用“无限观”审视了数学分析中的“极限论”。特别，附带地澄清了极限论中有时会招致误解的概念问题。相信这章题材内容对于从事分析数学教学者能有一定深度的启示作用和参考价值。第3、5章中讲述了近、现代发展起来的非标准分析方法。其实，这两章的写作动机都是为了要用直觉主义者的连续统理念重建“连续统模型”的问题引发出来的。特别，在第3章中读者还可以看到自然数无限性的哲学悖论（又称Engels悖论），如何能在一种非标准自然数模型中获得十分明确的自然的解释。第5章一开始就分析论述cantor实数连续统的功能与得失。这样，读者就会很容易理解为什么我们一定要利用Poincare的“内束”（intimfltebond）概念来重建“连续统模型”的动机了。　　本书既谈数学，又谈哲学，当然主要篇幅是讨论数学。希望在本书读者中，搞哲学的人能引起对数学的兴趣，搞数学的人能引起对哲学的兴趣。还希望数学工作者与哲学工作者的思想交流与合作将同时推进数学与哲学研究。【作者简介】　　徐利治，1920年生于江苏张家港（原名常熟沙洲），数学教授，历任中国数学会组合数学与图论专业委员会主任，中国科学院数学研究所顾问，南开数学研究所与中国科学院计算中心学术委员会委员，国家自然科学基金项目评审会成员，《中国大百科全书》数学卷编委兼计算数学组副组长，《数学研究与评论》杂志主编，《全国高校计算数学学报》名誉主编，《AnaoysisinTheoryandApplications》主编，德国《数学文摘》特约评论员。　　徐利治历任清华大学副教授、吉林大学教授、华中理工大学教授兼数学系主任、大连理工大学教授，博士生导师兼数学科学研究所所长、名誉所长。曾任国家教委学位授予权评审委员。1981年后多次应邀去国外参加国际学术会议，得到国外资助并作大会报告。1985～1986年获得美国国家科学基金会资助，赴美参加科研合作，并被聘为美国德克萨斯州A&M大学客座教授，1987年春返回国内。二十多年来，徐利治在全国各地访问、讲学，仍继续从事数学研究工作。　　徐利治的主要研究领域为计算方法、函数逼近、渐近分析、组合数学与数学方法论。国际上公认并被命名的成果有“徐氏逼近”、“徐氏渐近公式”、“Gould-Hsu反演公式”等。