数学无穷与中介的逻辑基础

序

特殊符号的名称及其解读方式

第1章 精确性经典数学的理论基础问题

1．1 古典集合论的诞生及其思想方法

1．2 何谓悖论

1．3 数学危机

1．4 近代公理集合论对悖论的解决方案

第2章 关于模糊数学的理论基础问题

2．1 模糊性与模糊数学

2．2 奠基于精确性经典数学之上的模糊数学

2．2．1 模糊拓扑

2．2．2 模糊代数

2．3 ZB公理集合论系统

2．4 中介数学系统

2．4．1 两种谓词的划分与定义

2．4．2 集合的运算

2．4．3 谓词与集合

2．4．4 小集与巨集

2．4．5 MS与ZFC之间的关系

2．4．6 逻辑数学悖论在MS中的解释方法

2．5 从计算机科学与数学研究的角度看中介系统的发展

2．5．1 中介系统目前的发展概况

2．5．2 中介系统的哲学背景

2．5．3 中介系统的思想原则

2．5．4 数学研究对象的再扩充

2．5．5 概括原则的修改问题

2．5．6 经典数学系统和中介数学系统之间的关系

2．5．7 中介系统在计算机科学中的应用前景

第3章 数学无穷与数学基础

3．1 无穷观问题的简要历史回顾

3．1．1 两种无穷观的萌芽

3．1．2 两种无穷观的确立

3．1．3 Zeno悖论与无穷观问题的关系及其引起的思考

3．1．4 无穷观问题从文艺复兴到微积分时代的演变

3．1．5 数学基础诸流派在无穷观问题上的争论

3．1．6 无穷观问题之困惑和迷茫

3．2 两种无穷观的区别和联系

3．2．1 何谓实无限与潜无限

3．2．2 潜无限与实无限之间的对立关系

3．2．3 第三种无限——基础无限

3．3 数学系统对两种无穷观的兼容性

3．4 近现代数学系统中的一对互相矛盾的隐性思想规定

3．4．1 隐性思想规定之一

3．4．2 隐性思想规定之二

3．4．3 两点注记

3．5 Cantor-Zermelo意义下的无穷集合概念的自相矛盾性

3．5．1 简记与注释

3．5．2 可数无穷集合的不相容性

3．5．3 ZFC框架中的不可数无穷集合的不相容性

3．5．4 若干相关的历史性直觉判断

3．6 再论古典集合论与近代公理集合论中之无穷集合概念的矛盾性

3．6．1 弹性集合与C趴mhy剧场

3．6．2 古典集合论与近代公理集合论中的狭义Cauchy剧场现象

3．6．3 超穷弹性集合与超穷Caumhy剧场

3．6．4 ZFC框架下的超穷Calmhy剧场现象

3．7 Cantor-HIbert对角线方法与不可数无穷集合的存在性

3．7．1 简要回顾

3．7．2 对角线方法与相异实数有穷差位判别原则

3．7．3 对角线方法中的“每一”与“所有”

3．7．4 一点注记

3．8 分析基础中的无穷观问题

3．8．1 微积分与极限论的简要历史回顾

3．8．2 简记与注释

3．8．3 关于极限表达式的可定义与可实现概念

3．8．4 分析基础中的新Berkeley悖论

3．8．5 注记之（一）

3．8．6 注记之（二）

3．9 非直接使用poi与aci观念下的自然数系统的不相容性

3．9．1 注释与简记

3．9．2 恰由全体自然数构成之集合的不相容性证明

3．9．3 续论与说明

第4章 潜无限数学系统

4．1 潜无限数学系统（Ⅰ）——预备知识

4．1．1 预备知识之一——背景世界的划分原则

4．1．2 预备知识之二——关于构建潜无穷数学系统的几点说明·

4．2 潜无限数学系统（Ⅱ）——逻辑基础之形式系统

4．2．1 PIMS命题逻辑的自然推理系统□

4．2．2 PIMS谓词逻辑的自然推理系统F刚

4．3 潜无限数学系统（Ⅲ）——逻辑基础之元理论

4．4 潜无限数学系统（Ⅳ）——集合论基础

第5章 建立中介实无限数学系统的思考与原则

5．1 关于近现代数学中谓词与集合之间的无穷观问题的思考

5．1．1 近现代数学中关于数集与区间内变量趋向极限之表示法的对比分析

5．1．2 近现代数学中实无限刚性自然数集合与中介过渡

5．2 实无限刚性集合之内涵与结构

5．2．1 无穷背景世界中谓词与集合之间的客观真实关系

5．2．2 建立中介实无限数学系统的重要性与必要性

5．2．3 基础无限弹性体与实无限刚性集合的结构模式

第6章 中介与二值两种逻辑框架的不可缺失性

6．1 预备知识

6．2 中介逻辑与数学物理危机

6．2．1 中介观念与第一次数学危机

6．2．2 中介观念与物理危机

6．2．3 中介观念与第二次数学危机

6．2．4 中介对象与Newton的“0”

6．3 光物质波粒二象性的逻辑基础

6．4 Leibniz割线切线问题在数学无穷之逻辑基础层面上的分析与研究

6．4．1 变量z无限趋近其极限□的poi方式与aci方式

6．4．2 谓词与集合层面上的poi与aci

6．4．3 关于Leibniz的割线与切线问题

6．5 Leibniz割线切线问题在中介逻辑框架下的逻辑数学解释方法

6．5．1 排中律的命题化分析和谓词层面上的潜无限与实无限

6．5．2 非此非彼概念在中介逻辑框架下的逻辑表达式

6．5．3 Leibniz割线与切线问题在中介逻辑系统中的逻辑数学解释方法

6．6 关于□有意义□是切线斜率在中介逻辑系统中的数学解读与逻辑分析

6．6．1 关于6．5．3中⑦与⑧合并后之（*）（□有意义&□是切线斜率）的逻辑数学解读

6．6．2 关于△x的[>0]处理与[=o]处理在CL和ML中的逻辑分析

6．7 Zeno第二个悖论在数学无穷之逻辑基础层面上的分析与研究

6．7．1 关于Zeno第二个悖论的解说

6．7．2 Zeno第二个悖论在变量与极限概念中的表述方式

6．7．3 Zeno第二个悖论之（□有意义□）在中介逻辑系统中的逻辑数学解释方法

6．7．4 解决Zeno第二个悖论的方法在中介逻辑系统中的科普解读方式

6．8 关于□有意义□在中介逻辑系统中的逻辑数学解读与逻辑分析

6．8．1 对（□有意义□）在中介逻辑系统中进行逻辑数学解读与逻辑分析的必要性

6．8．2 关于6．7．3中⑦和⑧合并之后的（*）（□有意义□）的逻辑数学解读

6．8．3 关于□的[>0]和[=0]处理在CL和ML中的逻辑分析

6．9 定积分的定义及其计算曲边梯形面积问题

6．10 含义概述与简要总结

附录 简评与答复“有关无限观的三个问题”中的问题

参考文献

后记

《数学无穷与中介的逻辑基础》是一部研究型的原创著作，全书分6章和1个附录。第1、2两章讨论经典与非经典数学的基础问题，其核心主题是介绍中介数学。第3章严格定义了潜无限、实无限和基础无限，并研讨了无穷集合的相容性问题。第4章建立了潜无限数学系统。第5章讲述如何改造传统造集观念。第6章和附录给出了古今数学物理危机中相关一流问题的解决方案。《数学无穷与中介的逻辑基础》虽为学术专著，但也可作高等院校数学、计算机专业的研究生及重点院校高年级本科生的基础理论课程教材使用，也可供相关专业的师生，特别是逻辑学专业的师生研读。

《数学无穷与中介的逻辑基础》内容的主题是讨论包括中介系统与数学无穷在内的数学基础问题。“数学基础”是20世纪上半叶所诞生的一个数学分支学科，该学科专门研究如何为古今种种数学系统奠定其理论基础的问题，或者说如何为种种数学系统奠定其逻辑基础的问题。20世纪30年代以后的相当一段时间内，形成了数学基础热。随着时间的推移，数学基础热逐渐降温直至低潮。然而不要忘记，数学基础这一分支学科自从诞生之日起，就必定成为数学之存在和发展中的一个永恒的研究课题。