数学物理方法

前言

第1章复变函数引论

1.1复数与复变函数

1.1.1复数表示法

1.1.2复数的运算规则

1.1.3复变函数的概念

1.1.4复多项式与复变函数的幂级数

1.2初等复变函数与反函数

1.2.1初等复变函数的定义

1.2.2指数函数、三角函数与双曲函数

1.2.3复变函数的反函数

1.3复变函数的导数与解析函数

1.3.1复变函数的导数与解析函数的定义

1.3.2柯西一黎曼方程

1.3.3多值函数的解析延拓

1.4复变函数的积分

1.4.1复变函数积分的概念和计算

1.4.2柯西一古萨定理

1.4.3复变函数的原函数与积分

1.5解析函数的高阶导数和泰勒级数

1.5.1解析函数的高阶导数

1.5.2泰勒级数

1.6罗朗级数与留数

1.6.1罗朗级数

1.6.2留数和围道积分

习题1

第2章傅里叶变换

2.1复指数傅里叶级数

2.2傅里叶积分与傅里叶变换

2.2.1一维傅里叶变换定理

2.2.2多维傅里叶变换

2.3阶跃函数与占函数的傅里叶变换

2.3.1阶跃函数及广义傅里叶变换

2.3.2函数及意义

2.3.3函数的性质

2.4傅里叶变换的性质

2.5函数的卷积与傅里叶变换的卷积定理

2.5.1函数的卷积

2.5.2傅里叶变换的卷积定理

2.6复值函数的傅里叶变换

习题2

第3章拉普拉斯变换

3.1拉普拉斯变换的基本原理

3.1.1拉普拉斯变换的概念

3.1.2周期脉冲函数拉普拉斯变换的计算方法

3.2拉氏变换的性质

3.3拉氏变换的卷积定理

3.3.1卷积的意义和它的运算规则

3.3.2卷积定理

3.4拉氏逆变换及其应用

3.4.1拉氏逆变换的反演积分原理

3.4.2用拉氏逆变换解常微分方程

习题3

第4章用分离变量法求解偏微分方程

4.1数学物理方程的导出

4.2定解问题的基本概念

4.2.1泛定方程的基本概念

4.2.2定解条件

4.2.3线性偏微分方程解的叠加定理

4.3直角坐标系下的分离变量法

4.3.1一维齐次定解问题的分离变量法

4.3.2高维齐次定解问题的分离变量法

4.4直角坐标系下的第三类边值问题与广义傅里叶级数

4.4.1直角坐标系下的第三类边值问题的求解

4.4.2广义傅里叶级数

4.5拉普拉斯方程的定解问题

4.5.1平面直角坐标系中的狄利克莱问题

4.5.2直角坐标系中拉普拉斯方程的混合定解问题

4.5.3圆域内的狄利克莱问题

4.6用特征函数展开法求解非齐次方程

4.6.1齐次定解条件下非齐次方程的解

4.6.2齐次边界条件下非齐次方程的解

4.7非齐次边界条件的处理

习题4

第5章二阶线性常微分方程的级数解法和广义傅里叶级数．

5.1贝塞尔方程与勒让德方程

5.1.1贝塞尔方程的导出

5.1.2勒让德方程的引入

5.2二阶线性常微分方程的幂级数解法

5.2.1二阶线性常微分方程的奇点与常点

5.2.2二阶线性常微分方程的幂级数解

5.3二阶线性常微分方程的广义幂级数解法

5.3.1弗罗贝尼乌斯解法理论

5.3.2弗罗贝尼乌斯级数解法

5.4常微分方程的边值问题

5.4.1常微分方程边值问题的提出

5.4.2S1问题的定理

5.4.3广义傅里叶级数的进一步讨论

习题5

第6章柱面坐标中的偏微分方程解法

6.1贝塞尔方程的解与贝塞尔函数

6.1.1第一类和第二类贝塞尔函数

6.1.2整数阶诺依曼函数

6.2贝塞尔函数的递推公式

6.3贝塞尔函数的性质

6.3.1贝塞尔函数的渐近式

6.3.2贝塞尔函数与诺依曼函数的性质

6.3.3贝塞尔函数的生成函数与积分表示

6.4傅里叶一贝塞尔级数

6.4.1傅里叶一贝塞尔级数展开式

6.4.2贝塞尔函数的模

6.5柱坐标下的边值问题

6.5.1柱对称的边值问题

6.5.2二重傅里叶一贝塞尔级数的边值问题

6.6虚宗量贝塞尔函数

6.6.1修正的贝塞尔函数

6.6.2修正的贝塞尔函数边值问题

6.7其他类型的贝塞尔函数

6.7.1第三类贝塞尔函数与柱函数

6.7.2开尔芬函数

6.7.3球贝塞尔函数

习题6

第7章球面坐标中的偏微分方程解法

7.1勒让德方程与勒让德多项式

7.1.1勒让德方程的求解

7.1.2勒让德多项式

7.2勒让德函数的性质及递推公式

7.2.1罗德利克公式

7.2.2勒让德函数的性质

7.2.3勒让德多项式的递推公式

7.3傅里叶一勒让德级数

7.4勒让德多项式的边值问题

7.5连带勒让德多项式及应用

7.5.1连带勒让德多项式

7.5.2球谐函数

习题7

第8章无界区域的定解问题

8.1二阶偏微分方程分类及其在数理方法中的应用

8.1.1二阶两变量线性偏微分方程的分类

8.1.2二阶多变量线性偏微分方程的分类

8.1.3偏微分方程分类在数理方法中的应用

8.2用行波法求解定解问题

8.2.1用行波法求解柯西问题

8.2.2用行波法求解有界区域齐次波动方程

8.3用齐次化原理求解非齐次方程

8.3.1无界区域非齐次弦振动方程的齐次化原理

8.3.2有界区域定解问题的齐次化解法

8.4齐次高维波动方程的柯西问题

8.4.1球对称柯西问题的求解

8.4.2三维波动方程的泊松公式

8.4.3降维法求柯西问题

8.5非齐次高维波动方程的求解

8.6用积分变换法求解偏微分方程

8.6.1用傅里叶变换求定解问题

8.6.2半无限区域上的定解问题

8.6.3用拉氏变换求解偏微分方程

习题8

第9章格林函数法求解数理方程

9.1格林公式及其在数理方程中的应用

9.1.1格林公式

9.1.2泊松方程的积分表达式

9.2格林函数

9.2.1用格林函数表示的泊松方程解

9.2.2格林函数的定解问题与泊松方程的解

9.3格林函数法解定解问题

9.3.1用电象法求格林函数

9.3.2用正交函数展开法求格林函数

习题9

附录

附录A傅氏变换简表

附录B拉氏变换简表

参考文献

　　在现代科学技术飞速发展的今天，不但要求学生的知识面宽，而且对知识的深度也提出了更高的要求。本教材以60％以上的篇幅讲述了贝塞尔函数与勒让德函数的性质及其应用，波动方程的解法以及广义傅里叶级数。教材的内容都是电类学生在后续课程学习和实际工作中遇到的数学难点和重点。本教材非常详细地推导了相关核心定理，每个定理都给出了足够的例题以深化学生对定理的认识，便于学生在课后自学。同时，尽量解释了偏微分程应用的物理背景。　　本教材主要内容包含了复变函数引论、傅里叶变换、拉普拉斯变换、用分离变量法求解偏微分方程、二阶线性常微分方程的级数解法和傅里叶级数、柱面坐标中的偏微分方程解法、球面坐标中的偏微分方程解法、无界区域的定解问题、格林函数法求解数理方程。　　本教材以电子、信息类学生为主要编写对象，适合作为电子科学类、电子工程、通信工程专业及应用物理偏电类专业的学生的数学物理方法教材。