李群

前言

主要符号表

第1章群、拓扑空间与流形

1.1集合

1.2关系与映射

1.3群

1.4置换群

1.5线性空间

1.6线性代数

1.7拓扑空间与度量空间

1.8连通性、紧致性与同伦

1.9流形

1.10流形上的矢量场和张量场

1.11微分形式与外微分

1.12映射的微分与子流形

1.13伪黎曼流形

第2章拓扑群与李群

2.1拓扑群

2.2连续变换群

2.3连续变换群举例

2.4连续群的拓扑性质与商群

2.5李群

2.6李变换群

2.7李子群

2.8经典线性群

第3章李群的李代数

3.1无穷小变换的交换子，李代数

3.2无穷小左右移动、李群的李代数

3.3李群的生成元、构造常数及交换子

3.4李群的几种生成元

3.5GL(n，R)和GL(n，C)的李代数

3.6李子群的李子代数，指数映射

3.7经典线性群的李代数

第4章李的基本定理

4.1莫勒一嘉当形式

4.2李的三定理

4.3李的三定理的逆定理

4.4通用覆盖群

第5章群表示理论

5.1一般概念

5.2不变子空间和表示的可约性

5.3群的几种表示

5.4舒尔引理

5.5正交性定理

5.6表示的特征标

5.7既约性的判别准则

5.8物理系统的对称群与有限群表示一例

5.9正则表示

5.10群表示的直积

5.11张量表示

5.12李群的矢量表示

5.13具有同构李代数的单连通李群和多连通李群的表示间的关系

第6章正交群和酉群

6.1参数李群生成元的另一种定义

6.2转动群SO(2)

6.3转动群SO(3)

6.4正交群O(n)

6.5特殊酉群SU(2)

6.6SU(2)到SU(3)上的同态

6.7由SU(2)的表示得到SO(3)的表示

6.8SU(2)表示的直积

6.9酉群U(n)和特殊酉群SU(n)的生成元

6.10李代数的直和与李群的直积

6.11SU(2)和SU(3)在物理学中的应用简例

第7章洛伦兹群和庞加莱群

7.1洛伦兹群D(3，1)

7.2相对论中的洛伦兹群及其拓扑结构

7.3洛伦兹群的张量表示及其生成元的一般交换规则

7.4SL(2，C)到O(3，1)↑上的同态

7.5庞加莱群加(3，1)

7.6李群的并缩，伽利略群

7.7德西特群

第8章李代数的一般理论

8.1可解李群和可解李代数

8.2单、半单李群和单、半单李代数

8.3实李代数的复扩充

8.4李代数的表示，伴随表示

8.5李代数基底的变换和卡西米尔算子

8.6李代数的自同构与导子

8.7几个有关定理

第9章半单李代数和单李代数

9.1半单李代数的嘉当分解

9.2半单李代数根的性质

9.3根矢图制作

9.4半单李代数的单根

9.5邓肯图，复单李代数的分类

第10章GL(n，C)和SU(n)的既约张量表示

10.1杨图与置换群的共轭类

10.2置换群Sk的正则表示空间与杨元

10.3固有幂等元与不变子空间

10.4GL(n，C)下的既约张量

10.5GL(n，c)及其子群的既约张量表示维数的确定

10.6GL(n，c)的既约表示对GL(n-1，C)的约化

10.7SU(n，z)群既约表示直积的分解

10.8权与权图

第11章纤维丛与联络论

11.1丛

11.2纤维丛

11.3主纤维丛

11.4配丛

11.5张量丛

11.6线性联络

11.7曲率与挠率

11.8主纤维丛上的联络

索引

　　本书以代数与几何相结合的方式，系统地论述李群及其李代数的内容，以及纤维丛和联络论，同时还介绍了杨图及其应用。第1章是关于集合论、群、拓扑空间和流形等的基本知识。第2、3章主要介绍李群并引入李群的李代数。第4章主要用来证明李的三定理和叙述李的三定理的逆定理。第5章研究群的表示理论。第6、7章在前几章的基础上，专门用来阐述正交群、酉群、庞加莱群和洛伦兹群等。第8章简要论述李代数的一般理论。第9章用来论证半单李代数的构造和单李代数的分类。第10章介绍了关于杨图的理论，同时借助杨图研究了群的张量表示理论。第11章从最简单的纤维丛构造开始，阐述了纤维丛和联络论。　　本书系统地论述了李群、李群的李代数、纤维丛和联络论及杨图理论。书中为所述内容提供了全面的论证、详细的运算和大量的实例，也为其在前沿领域中的应用做了准备。全书结构严谨，自成体系，对与物理学关系密切的内容的论述尤为关注。　　本书可作为大学物理系、数学系研究生的教材，也可供大专院校相关专业的师生及科研人员参考。