数值分析基础

第一章 引论

1 数值分析的研究对象

2 数值计算的误差

2.1 误差的来源与分类

2.2 绝对误差和相对误差、有效数字

2.3 求函数值和算术运算的误差估计

2.4 计算机的浮点数表示和舍人误差

3 病态问题、数值稳定性与避免误差危害

3.1 病态问题与条件数

3.2 数值方法的稳定性

3.3 避免误差危害

4 线性代数的一些基本概念

4.1 矩阵的特征值问题、相似变换化标准形

4.2 线性空间和内积空间

4.3 范数、线性赋范空间

5 几种常见矩阵的性质

5.1 正交矩阵和酉矩阵

5.2 对称矩阵和对称正定矩阵

5.3 初等矩阵

5.4 可约矩阵

5.5 对角占优矩阵

习题

第二章 线性代数方程组的直接解法

1 Gauss消去法

1.1 顺序消去与回代过程

1.2 顺序消去能够实现的条件

1.3 矩阵的三角分解

2 选主元素的消去法

2.1 有换行步骤的消去法

2.2 矩阵三角分解定理的推广

2.3 选主元素的消去法

3 直接三角分解方法

3.1 Doolittle分解方法

3.2 对称矩阵的三角分解、Cholesky方法

3.3 带状矩阵方程组的直接方法

4 矩阵的条件数、直接方法的误差分析

4.1 扰动方程组与矩阵的条件数

4.2 病态方程组的解法

4.3 列主元素消去法的舍入误差分析

习题

计算实习题

第三章 线性代数方程组的迭代解法

1 迭代法的基本概念

1.1 向量序列和矩阵序列的极限

1.2 迭代公式的构造

1.3 迭代法收敛性分析

2 Jacoboi迭代法和Gauss-seidel迭代法

2.1 Jacobi迭代法

2.2 Gauss-Seidel迭代法

2.3 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性

3 超松弛迭代法

3.1 逐次超松弛迭代公式

3.2 SOR迭代法的收敛性

3.3 最优松弛因子

3.4 对称超松弛迭代法

4 共轭梯度法

4.1 与方程组等价的变分问题

4.2 最速下降法

4.3 共轭梯度法

4.4 预处理共轭梯度方法

习题

计算实习题

第四章 非线性方程和方程组的数值解法

1 区间对分法

2 单个方程的不动点迭代法

2.1 不动点和不动点迭代法

2.2 迭代法在区间[a，b]的收敛性

2.3 局部收敛性与收敛阶

3 迭代加速收敛的方法

3.1 Aitken加速方法

3.2 Steffensen迭代法

4 Newton迭代法和割线法

4.1 Newton迭代法的计算公式

4.2 局部收敛性和全局收敛性

4.3 重根情形

4.4 割线法

5 非线性方程组的不动点迭代法

5.1 向量值函数的连续性和导数

5.2 压缩映射和不动点迭代法

6 非线性方程组的Newton法和拟Newton法

6.1 Newton法

6.2 拟Newton法

习题

计算实习题

第五章 矩阵特征值问题的数值方法

1 特征值的估计和扰动

1.1 特征值的估计

1.2 特征值的扰动

2 正交变换和矩阵因式分解

2.1 Householder变换

2.2 Givens变换

2.3 矩阵的QR因式分解

2.4 矩阵的Schur因式分解

3 幂迭代法和逆幂迭代法

3.1 幂迭代法

3.2 加速技术

3.3 逆幂迭代法

3.4 收缩方法

4 QR方法

4.1 基本QR迭代

4.2 正交相似变换化矩阵为上Hessenberg形式

4.3 Hessenberg矩阵的QR方法

4.4 带有原点位移的QR方法

4.5 双重步QR方法

5 对称矩阵特征值问题的计算

5.1 对称矩阵特征值问题的性质

5.2 Rayleigh商迭代

5.3 Jacobi方法

5.4 对称矩阵的QR方法

习题

计算实习题

第六章 插值法

1 Lagrange插值

1.1 Lagrange插值多项式

1.2 插值余项及其估计

1.3 线性插值和二次插值

1.4 关于插值多项式的收敛性问题

2 均差与Newton插值多项式

2.1 均差及其性质

2.2.Newton插值多项式

2.3 差分及其性质

2.4 等距节点的Newton插值公式

3 Hermite插值

3.1 Hermite插值多项式

3.2 重节点均差

3.3 Newton形式的Hermite插值多项式

3.4 一般密切插值（Hermite插值）

4 三次样条插值

4.1 分段线性插值及分段三次Her-mite插值

4.2 三次样条插值函数

4.3 三次样条插值函数的计算方法

4.4 数值例子

5 三次样条插值函数的性质与误差估计

5.1 基本性质

5.2 三次样条插值函数的误差估计

6 B 样条函数

6.1 三次样条函数空间

……

第七章 函数逼近

第八章 数值积分与数值微分

第九章 常微分方程初值问题的数值解法

部分习题的答案或提示

数值分析基础（第2版）》着重介绍现代科学与工程计算中的有关数值方法，强调数值分析的基本概念、理论及应用，特别是数值方法在计算机上的实现。理论叙述严谨、精练，概念交代明确，方法描述清晰，系统性较强。全书内容包括：线性代数方程组的直接方法和迭代方法，特征值问题的数值方法，非线性方程和方程组的数值方法，函数的插值和逼近，线性最小二乘法，数值积分和微分，常微分方程初值问题的数值方法等。《数值分析基础（第2版）》可作为理工科研究生数值分析、科学计算等课程的教材，也可以作为相关专业本科生的教材，还可供相关科研、技术人员参考。