计算机数学基础

前 言

第1章 绪论 1

1.1 关于数学 1

1.1.1 什么是数学 1

1.1.2 数学的显著特征 2

1.1.3 数学的基础性 2

1.1.4 数学的应用性 2

1.2 关于计算机数学 2

1.2.1 计算机数学 3

1.2.2 计算机数学的构建 4

1.2.3 计算机数学的内容规范和组织 4

1.3 关于计算机数学的教学和学习 5

1.3.1 计算机数学的教学 5

1.3.2 计算机数学的学习 5

1.3.3 关于本教材 6

第2章 集合论 7

2.1 集合基础 7

2.1.1 集合的基本概念 7

2.1.2 集合的表示方法 8

2.1.3 集合概念间的关系 9

2.1.4 集合概念的基本性质 10

2.1.5 集合运算 11

2.1.6 集合的扩充运算-笛卡儿乘 13

2.2 关系 15

2.2.1 关系的基本概念 15

2.2.2 关系的表示 16

2.2.3 关系运算 17

2.2.4 n元关系 19

2.3 函数与无限集 19

2.3.1 函数的基本概念 19

2.3.2 函数的表示 20

2.3.3 函数的分类 21

2.3.4 函数运算 22

2.3.5 几种常用函数 24

2.3.6 多元函数 24

2.3.7 有限集与无限集 25

2.4 本章小结 26

习题 27

第3章 函数极限与连续 29

3.1 初等函数 29

3.1.1 基本初等函数 30

3.1.2 初等函数 31

3.1.3 分段函数 34

3.2 函数的极限 35

3.2.1 函数的极限概念 36

3.2.2 数列的极限 41

3.2.3 极限的性质 42

3.2.4 极限的运算 43

3.2.5 极限的夹逼定理 46

3.2.6 两个重要极限 47

3.3 无穷小量与无穷大量 50

3.3.1 无穷小量与无穷大量 50

3.3.2 无穷小量的比较 54

3.4 函数的连续性，连续函数的性质 56

3.4.1 函数的连续性 56

3.4.2 函数的间断点及其分类 58

3.4.3 初等函数的连续性 59

3.4.4 闭区间上连续函数的性质 60

3.5 本章小结 61

习题 62

第4章 导数及其应用 71

4.1 导数概念 71

4.1.1 导数的定义 71

4.1.2 可导与连续的关系 74

4.1.3 导数的几何意义 75

4.1.4 反函数的导数 77

4.2 函数的求导法则 77

4.2.1 基本初等函数的导数 78

4.2.2 导数的四则运算法则 79

4.2.3 复合函数的求导法则 82

4.2.4 隐函数的导数 86

4.2.5 对数求导法 88

4.3 高阶导数 89

4.4 函数的微分 92

4.4.1 微分的概念 92

4.4.2 函数的可微条件 93

4.4.3 微分的几何意义 94

4.5 中值定理 95

4.5.1 罗尔定理 95

4.5.2 拉格朗日中值定理 96

4.5.3 柯西中值定理 99

4.6 求极限的洛必达法则 99

4.6.1 0/0型和∞/∞型未定式 99

4.6.2 其他类型的未定式 103

4.7 函数的单调性和极值 104

4.7.1 函数的单调性 104

4.7.2 函数的极值 108

4.7.3 函数的最大值和最小值 111

4.8 函数曲线的凹向与拐点 113

4.9 求函数方程的根的数值方法 115

4.10 本章小结 117

习题 119

第5章 不定积分 132

5.1 不定积分的概念及性质 132

5.1.1 原函数和不定积分的概念 132

5.1.2 积分与微分（导数）的互逆运算性质 134

5.1.3 基本积分公式 135

5.1.4 不定积分的几何意义 135

5.2 不定积分的基本运算法则 136

5.3 不定积分的换元法 138

5.3.1 第一换元法（凑微分法） 138

5.3.2 第二换元法 146

5.4 分部积分法 150

5.5 本章小结 154

习题 156

第6章 定积分 161

6.1 定积分的概念与性质 161

6.1.1 定积分的定义 161

6.1.2 定积分的性质 165

6.2 微积分学基本定理 166

6.3 定积分的计算方法 169

6.3.1 牛顿-莱布尼茨公式 169

6.3.2 定积分的换元法 173

6.3.3 分部积分法 177

6.4 计算定积分的数值方法 180

6.4.1 梯形公式 181

6.4.2 辛普森公式 181

6.4.3 复合求积公式 183

6.5 广义积分 186

6.6 定积分的应用 189

6.6.1 定积分的微元法 190

6.6.2 平面图形的面积 190

6.7 本章小结 195

习题 196

第7章 级数 203

7.1 常数项级数 203

7.1.1 常数项级数的基本概念 203

7.1.2 收敛级数的性质 205

7.2 常数项级数的收敛判别法 206

7.2.1 正项级数及其敛散性判别法 206

7.2.2 任意项级数 209

7.3 幂级数 211

7.4 本章小结 216

习题 217

第8章 行列式与矩阵 220

8.1 行列式 220

8.1.1 行列式的定义 220

8.1.2 行列式的性质 226

8.1.3 行列式的计算 227

8.2 矩阵 230

8.2.1 矩阵的概念 230

8.2.2 矩阵运算 231

8.2.3 几种特殊的矩阵 235

8.3 矩阵的初等变换与矩阵的秩 236

8.3.1 矩阵的初等变换 236

8.3.2 矩阵的秩 237

8.4 矩阵的逆 238

8.4.1 可逆矩阵 239

8.4.2 用初等变换求逆矩阵 240

8.5 本章小结 241

习题 242

第9章 线性方程组 244

9.1 线性方程组的定义 244

9.2 线性方程组的消元解法 245

9.2.1 一般消元法 245

9.2.2 主元素消元法 248

9.3 线性方程组解的判定与结构 249

9.3.1 线性方程组解的判定 249

9.3.2 线性方程组解的结构 252

9.4 求线性方程组解的迭代法 259

9.4.1 向量和矩阵的范数 259

9.4.2 迭代法及其收敛性 261

9.4.3 雅可比迭代法 263

9.4.4 高斯-塞德尔迭代法 264

9.5 本章小结 266

习题 267

第10章 概率与数理统计基础知识 270

10.1 基础概率 270

10.1.1 随机事件及其概率 271

10.1.2 古典概型 273

10.1.3 全概公式与逆概公式 277

10.2 随机变量的分布与数字特征 279

10.2.1 随机变量的分布 279

10.2.2 随机变量的数字特征 286

10.3 数理统计基础知识 292

10.3.1 总体、样本、统计量 292

10.3.2 常用统计量分布 293

10.3.3 样本数据的统计分析初步 295

10.4 本章小结 296

习题 298

第11章 图论 301

11.1 图论原理 301

11.1. 1 图的基本概念 301

11.1.2 通路、回路与连通图 305

11.1.3 欧拉图 308

11.1.4 哈密尔顿图 310

11.1.5 图的矩阵表示法 311

11.2 树 317

11.2.1 树的基本性质 317

11.2.2 有向树 318

11.2.3 二元树 320

11.2.4 生成树 321

11.3 本章小结 323

习题 324

第12章 数理逻辑 326

12.1 命题逻辑 326

12.1.1 命题 326

12.1.2 命题联结词 327

12.1.3 命题公式 331

12.1.4 命题公式的真值表与重言式 332

12.1.5 命题逻辑的基本等式与基本蕴含重言式 334

12.1.6 命题逻辑的推理 336

12.2 谓词逻辑 339

12.2.1 谓词逻辑的三个基本概念-个体、谓词与量词 340

12.2.2 谓词公式 343

12.2.3 谓词逻辑的永真公式 345

12.2.4 谓词逻辑的推理 347

12.3 本章小结 349

习题 350

参考文献 352

《计算机数学基础》是整合计算机专业及相关专业必备数学基础知识而编写的教材。 全书共12章，内容包括集合论、连续性概念、一元微积分、级数、线性代数、概率论与数理统计、图论和数理逻辑等基础数学分支。 教材编写贯彻少而精、重基础、重实践、重实用的原则，内容分布均匀、重点突出，选材重在基础和必备，按数学自身规律有机组织知识内容，教材体系完整统一。
　　本教材针对应用型计算机专业及相关专业学生编写，适合应用型普通高校和高职高专院校计算机专业学生用做教材，也可以作为IT行业从业人员提高数学基础知识的读本或专业培训教材。

计算机数学是为计算机基础教学而整合相关数学知识所设计的一门新兴课程。本教材针对应用型本科高校和高职高专院校计算机应用技术专业及相关专业编写，考虑到教学课时和专业层次的需求，一般仅选择基础性的主要内容，主要由集合论、连续性概念、一元微积分、级数、线性代数、概率论与数理统计、图论、数理逻辑等组成。
　　《计算机数学基础》特点：
　　教材内容分布均匀、重点突出。本教材内容涉及高等数学、离散数学、线性代数及概率统计等多个方面，内容分布均匀，重点突出，同时坚持少而精的原则。
　　按数学自身规律组织内容，使原有多门课程涉及的内容有机统一为一个整体，从而形成适应计算机学科的必要的基本数学知识体系。
　　课程目标明确。本教材是一门基础性数学课程，其主要目标是使学生掌握数学的基本概念，培养学生抽象思维能力及逻辑推理能力，同时为后续课程提供支持。
　　侧重实践。本教材尽量减少纯理论的阐述和证明，强调数学的应用与实践，有丰富的例题。