高等数学基础学习指导与习题精讲

第1章函数与极限1

1.1考试内容与要求1

1.1.1考试内容1

1.1.2考试要求1

1.2知识要点1

1.2.1基本概念1

1.2.2基本性质3

1.2.3基本理论4

1.2.4重要结论及基本计算方法5

1.3基础例题与范例精解6

1.3.1函数概念的例题与解析6

1.3.2求极限的例题与解析7

1.3.3由函数极限和连续性求函数中待定系数的例题与解析14

1.3.4无穷小比较的例题与解析16

1.3.5函数连续性判断的例题与解析17

1.3.6闭区间上连续函数性质的例题与解析19

1.4自测题20

1.4.1填空题自测20

1.4.2选择题自测20

1.4.3计算题自测21

1.4.4证明题自测21

1.5自测题答案21

1.5.1填空题答案21

1.5.2选择题答案22

1.5.3计算题答案22

1.5.4 证明题答案23

第2章导数与微分24

2.1考试内容与要求24

2.1.1考试内容24

2.1.2考试要求24

2.2知识要点24

2.2.1基本概念24

2.2.2基本性质25

2.2.3基本理论26

2.2.4重要结论及基本计算方法27

2.3基础例题与范例精解28

2.3.1函数导数计算的例题与解析28

2.3.2利用导数定义求极限的例题与解析35

2.3.3函数可导性讨论的例题与解析36

2.3.4导数应用的例题与解析37

2.3.5函数微分的例题与解析38

2.4自测题39

2.4.1填空题自测39

2.4.2选择题自测39

2.4.3计算题自测40

2.4.4证明题自测40

2.5自测题答案41

2.5.1填空题答案41

2.5.2选择题答案41

2.5.3计算题答案41

2.5.4证明题答案43

第3章微分中值定理与导数的应用44

3.1考试内容与要求44

3.1.1考试内容44

3.1.2考试要求44

3.2知识要点44

3.2.1基本概念44

3.2.2基本性质45

3.2.3基本理论46

3.2.4重要结论及基本计算方法48

3.3基础例题与范例精解49

3.3.1中值定理相关的例题与解析49

3.3.2洛必达法则应用的例题与解析53

3.3.3不等式证明的例题与解析56

3.3.4函数单调性的例题与解析57

3.3.5函数极值和最值的例题与解析58

3.3.6曲线凹凸性和拐点的例题与解析59

3.4自测题60

3.4.1填空题自测60

3.4.2选择题自测60

3.4.3计算题自测61

3.4.4证明题自测61

3.5自测题答案61

3.5.1填空题答案61

3.5.2选择题答案62

3.5.3计算题答案62

3.5.4证明题答案64

第4章不定积分65

4.1考试内容与要求65

4.1.1考试内容65

4.1.2考试要求65

4.2知识要点65

4.2.1基本概念65

4.2.2基本性质66

4.2.3基本理论66

4.2.4基本积分公式67

4.3基础例题与范例精解67

4.3.1不定积分概念与性质的例题与解析67

4.3.2第一类换元法的例题与解析72

4.3.3第二类换元法的例题与解析75

4.3.4分部积分法的例题与解析82

4.3.5有理函数积分的例题与解析85

4.4自测题88

4.4.1填空题自测88

4.4.2选择题自测89

4.4.3计算题自测89

4.4.4证明题自测90

4.5自测题答案90

4.5.1填空题答案90

4.5.2选择题答案90

4.5.3计算题答案91

4.5.4证明题答案93

第5章定积分94

5.1考试内容与要求94

5.1.1考试内容94

5.1.2考试要求94

5.2知识要点94

5.2.1基本概念94

5.2.2基本性质96

5.2.3基本理论97

5.2.4奇偶函数与周期函数的积分性质98

5.3基础例题与范例精解98

5.3.1定积分的概念与性质的例题与解析98

5.3.2微积分基本公式的例题与解析101

5.3.3定积分的换元法和分部积分法的例题与解析103

5.3.4广义积分的例题与解析106

5.4自测题108

5.4.1填空题自测108

5.4.2选择题自测109

5.4.3计算题自测109

5.4.4证明题自测110

5.5自测题答案110

5.5.1填空题答案110

5.5.2选择题答案110

5.5.3计算题答案111

5.5.4证明题答案113

第6章定积分的应用114

6.1考试内容与要求114

6.1.1考试内容114

6.1.2考试要求114

6.2知识要点114

6.3基础例题与范例精解115

6.3.1定积分的几何应用的例题与解析115

6.3.2定积分的物理应用的例题与解析119

6.4自测题122

6.4.1填空题自测122

6.4.2选择题自测122

6.4.3计算题自测123

6.5自测题答案124

6.5.1填空题答案124

6.5.2选择题答案124

6.5.3计算题答案124

第7章微分方程127

7.1考试内容与要求127

7.1.1考试内容127

7.1.2考试要求127

7.2知识要点127

7.2.1基本概念127

7.2.2基本方法128

7.3基础例题与范例精解132

7.3.1微分方程的基本概念的例题与解析132

7.3.2可分离变量的微分方程的例题与解析133

7.3.3齐次方程的例题与解析134

7.3.4一阶线性微分方程的例题与解析135

7.3.5可降阶的高阶微分方程的例题与解析138

7.3.6高阶线性微分方程的例题与解析139

7.3.7常系数齐次线性微分方程的例题与解析140

7.3.8常系数非齐次线性微分方程的例题与解析141

7.4自测题142

7.4.1填空题自测142

7.4.2选择题自测142

7.4.3计算题自测143

7.4.4证明题自测143

7.5自测题答案143

7.5.1填空题答案143

7.5.2选择题答案144

7.5.3计算题答案144

7.5.4证明题答案145

第8章向量代数与空间解析几何146

8.1考试内容与要求146

8.1.1考试内容146

8.1.2考试要求146

8.2知识要点147

8.2.1基本概念147

8.2.2基本性质148

8.2.3基本理论148

8.3基础例题与范例精解 151

8.3.1向量及其线性运算的例题与解析151

8.3.2数量积、向量积、混合积的例题与解析153

8.3.3曲面及其方程的例题与解析155

8.3.4空间曲线及其方程的例题与解析158

8.3.5平面及其方程的例题与解析161

8.3.6空间直线及其方程的例题与解析163

8.3.7平面、直线、点的关系166

8.3.8点、线、面间的距离167

8.3.9线、面间夹角169

8.4自测题169

8.4.1填空题自测169

8.4.2选择题自测170

8.4.3计算题自测170

8.4.4证明题自测171

8.5自测题答案171

8.5.1填空题答案171

8.5.2选择题答案171

8.5.3计算题答案172

8.5.4证明题答案173

第9章多元函数微分法及其应用174

9.1考试内容与要求174

9.1.1考试内容174

9.1.2考试要求174

9.2知识要点175

9.2.1基本概念175

9.2.2基本性质177

9.2.3基本理论177

9.3基础例题与范例精解181

9.3.1二元函数的概念的例题与解析181

9.3.2二元函数极限的例题与解析182

9.3.3多元函数连续性的例题与解析184

9.3.4函数偏导数的例题与解析185

9.3.5多元复合函数的偏导数的例题与解析188

9.3.6隐函数的偏导数的例题与解析191

9.3.7多元函数的全微分的例题与解析193

9.3.8方向导数与梯度的例题与解析195

9.3.9多元函数微分学的几何应用的例题与解析196

9.3.10多元函数的极值与最值的例题与解析199

9.4自测题201

9.4.1填空题自测201

9.4.2选择题自测201

9.4.3计算题自测202

9.4.4证明题自测202

9.5自测题答案202

9.5.1填空题答案202

9.5.2选择题答案203

9.5.3计算题答案203

9.5.4证明题答案205

第10章重积分207

10.1考试内容与要求207

10.1.1考试内容207

10.1.2考试要求207

10.2知识要点207

10.2.1基本概念207

10.2.2基本性质208

10.2.3基本理论209

10.2.4基本应用210

10.3基础例题与范例精解212

10.3.1二重积分的几何意义的例题与解析212

10.3.2二重积分的性质的例题与解析213

10.3.3利用直角坐标计算二重积分的例题与解析213

10.3.4利用极坐标计算二重积分的例题与解析215

10.3.5改变重积分的积分次序的例题与解析216

10.3.6利用直角坐标计算三重积分的例题与解析217

10.3.7利用柱坐标计算三重积分的例题与解析218

10.3.8利用球坐标计算三重积分的例题与解析219

10.3.9重积分的应用的例题与解析221

10.4自测题224

10.4.1填空题自测224

10.4.2选择题自测224

10.4.3计算题自测225

10.4.4证明题自测226

10.5自测题答案226

10.5.1填空题答案226

10.5.2选择题答案226

10.5.3计算题答案226

10.5.4证明题答案227

第11章曲线积分与曲面积分228

11.1考试内容与要求228

11.1.1考试内容228

11.1.2考试要求228

11.2知识要点228

11.2.1基本概念228

11.2.2基本性质230

11.2.3基本理论231

11.2.4基本应用233

11.3基础例题与范例精解235

11.3.1对称性及质心公式的例题与解析235

11.3.2曲线积分转化为定积分的例题与解析236

11.3.3格林公式的例题与解析238

11.3.4积分与路径无关的例题与解析240

11.3.5二元函数的全微分求积的例题与解析242

11.3.6曲面积分转化为二重积分的例题与解析243

11.3.7高斯公式的例题与解析245

11.3.8斯托克斯公式的例题与解析246

11.3.9曲线积分与曲面积分的应用的例题与解析247

11.4自测题249

11.4.1填空题自测249

11.4.2选择题自测249

11.4.3计算题自测250

11.4.4证明题自测251

11.5自测题答案251

11.5.1填空题答案251

11.5.2选择题答案251

11.5.3计算题答案251

11.5.4证明题答案252

第12章无穷级数254

12.1考试内容与要求254

12.1.1考试内容254

12.1.2考试要求254

12.2知识要点255

12.2.1基本概念255

12.2.2基本理论256

12.2.3基本方法260

12.3基础例题与范例精解261

12.3.1常数项级数的概念和性质的例题与解析261

12.3.2常数项级数的审敛法的例题与解析262

12.3.3幂级数的例题与解析269

12.3.4函数展开成幂级数的例题与解析274

12.3.5傅里叶级数的例题与解析276

12.3.6一般周期函数的傅里叶级数的例题与解析278

12.4自测题279

12.4.1填空题自测279

12.4.2选择题自测280

12.4.3计算题自测280

12.4.4证明题自测281

12.5自测题答案281

12.5.1填空题答案281

12.5.2选择题答案282

12.5.3计算题答案282

12.5.4证明题答案285

参考文献286

本书以国家教育部工科数学课程指导委员会制定的《高等数学课程教学的基本要求》为依据，结合目前该门课程的教学改革情况编写，吸取了编写组教师多年的教学经验.本书共分12个专题，包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用、微分方程、向量代数与空间解析几何、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数.每一专题均由考试内容与要求、知识要点、基础例题与范例精解、自测题、自测题答案共5个部分组成.本书可作为高等数学教学辅助教材供教师与学生使用.

以教育部工科数学课程指导委员会制定的《高等数学课程教学的基本要求》为依据，与同济大学数学系主编的《高等数学》（第六版）教材同步，结合当前该门课程的教学改革的实践和情况编写，凝结了编写组教师多年的教学经验。
本书共分12个专题，包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用、微分方程、空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数。每一专题均由考点提示及大纲要求、基础知识、习题精讲、自我测验、习题答案与提示五个部分组成。
以基本题为主，侧重基本概念、基本知识和基本技能的训练，突出重点，解析难点，既可以帮助学生解决教材中的一些重点和难点问题，同时通过基础类习题锻炼学生自我学习的能力，提高分析问题与解决问题的能力。