大话概率论与数理统计

第0章 超级导读（必看）

磨刀不误砍柴工。只有把刀磨好了，砍柴时才会事半功倍。

0.1 概率论与数理统计其实就是一座大楼

运用比喻，生动形象地为大家展示概率论与数理统计之美。

0.2 我帮你盖楼

我是一个小有名气的建筑师，我将和大家一起盖好这座七层的大楼。

0.3 第1章到第7章的内容

大家来看看吧，这里有每一章的结构。

0.4 你最后要这样才行

内因才是最重要的，大家要想考高分，就必须按本节所说的这样去做。

0.5 送给大家的话

愿我的话能激励大家在最疲倦、最懈怠的时候，因为责任而坚持，因为担当而无畏。

第1章 第一层——随机事件和概率

由于我不确定你是否看了“超级导读”，所以再次提醒：每章我将按照“砖+房间”的方法来讲解，其中“砖”只要全看懂（因为砖是最基础的内容）就可以了，而“房间”则要看懂后默写出来（因为房间是考研的考点）。只要你每章都如此，那么，不管你是什么基础的同学，考研数学概率论与数理统计部分就一定能拿到满分。

1.1 第一车砖——随机试验

随机试验可以理解为“为了得知到底是哪种结果而做某事”，而非单纯的“做某事”。

1.2 第二车砖——样本空间

“样本空间”不能孤立的存在，它是配合“随机试验”而存在的。换言之，只能说“某随机试验的样本空间是……”，而不能单独说“样本空间是……”。

1.3 第三车砖——样本点

本节涉及到的知识点很简单，所谓样本点，其实指的就是样本空间中的元素。

1.4 第四车砖——随机事件

“随机事件”与“随机试验”完全不是一回事，大家可千万别把它们混为一谈。所谓随机事件，指的是样本空间的子集。

1.5 第五车砖——随机事件之间的关系

大家已经知道随机事件是什么意思了，现在要给大家讲的是“两个随机事件之间的关系有哪些”。具体来说，有五种关系。

1.5.1 包含关系：

1.5.2 等于关系：

1.5.3 交关系： （或 ）

1.5.4 并关系： （或 ）

1.5.5 差关系：

1.6 第六车砖——随机事件的概率

概率是对可能性的定量描述，但是这种定量描述是理论上的。

1.7 第七车砖——两种特殊的随机事件

在前面的第四车砖中，我给大家讲了随机事件的基本概念，随机事件是样本空间的子集。本节我要给大家介绍两种特殊的随机事件：不可能事件和必然事件。

1.8 房间101——互斥

随机事件 和随机事件 互斥指随机事件 和随机事件 不可能同时发生。

1.8.1 两个随机事件互斥

1.8.2 两个随机事件对立

1.9 房间102——相互独立

本节只给大家讲“两个随机事件相互独立”和“三个随机事件相互独立”。大家一定要记住，“互斥”是针对两个随机事件而言的，而“相互独立”则可以针对多个随机事件。

1.9.1 两个随机事件相互独立

1.9.2 三个随机事件相互独立

1.10 房间103——关于互斥、相互独立的进一步讨论

本节我要给大家讲六个结论，请大家务必要把这六个结论背下来。

1.11 房间104——三大公式

1.11.1 加法公式

1.11.2 减法公式

1.11.3 乘法公式

1.12 房间105——四条算律

1.13 房间106——与概率有关的应用题

以下两个条件是“与概率有关的应用题”的标志：

①具有背景。

②让求概率。

1.13.1 几何概型

1.13.2 伯努利概型

1.13.3 全概率概型与贝叶斯概型

1.14 小结

1.15 练习题

第2章 第二层——随机变量及其概率分布

第一章基本没有涉及到高等数学，但是如果大家认为概率论与数理统计学科与高等数学无关，那可就错了。本章会涉及到一些高等数学知识，例如导数和积分。

2.1 第一车砖——为什么要引入随机变量

其实我完全可以把本节内容删去，而直接给大家讲随机变量的定义，因为本节的内容是不会出考研题的。

2.2 第二车砖——随机变量的定义

通过上一节的讲解，大家一定已经知道为什么要引入随机变量了吧。那么，到底什么叫随机变量呢？这正是本节要给大家讲的。

2.3 第三车砖——分布函数的定义

本节要给大家讲的知识点是分布函数的定义。分布函数实在是太重要了，它既与第二车砖中刚刚讲完的随机变量有关，又与第四车砖中将要讲的概率密度函数有关。

2.4 第四车砖——概率密度函数的定义

先来给大家提个醒：上一节刚刚讲完的分布函数以及本节将要讲的概率密度函数都是针对随机变量而言的。也就是说，并不能孤立地说“分布函数是什么”或者“概率密度函数是什么”，必须得说“某随机变量的分布函数是什么”或者“某随机变量的概率密度函数是什么”。

2.5 第五车砖——随机变量的分类

在本章的第二车砖中，我给大家讲了随机变量的定义。而现在，我们来给随机变量分一下类。

2.5.1 离散型随机变量

2.5.2 连续型随机变量

2.5.3 混合型随机变量

2.6 第六车砖——三条重要结论

这三条重要结论并不是可会可不会，而是必须背熟。

2.6.1 重要结论①

2.6.2 重要结论②

2.6.3 重要结论③

2.7 第七车砖——分布律

分布律其实就是一张表格而已。“分布律”这三个字与“概率分布”这四个字的意思完全一样，也就是说“概率分布”相当于“分布律”的别名。这一点一定要记牢（有很多人认为“概率分布”的意思是“概率密度函数”，事实却并非如此）。

2.8 房间201—— 为某一随机变量的分布函数的充要条件

分布函数的定义早在本章的第三车砖中就已经给大家讲过了。然而，并不是说任意给一个函数 ，它就一定可以作为某一随机变量的分布函数……

2.9 房间202——通过分布函数求概率

当大家看了本节的标题后，或许会认为“通过分布函数求概率”之前已经讲过了啊，没错，但是光这一个公式是不够的，本节再给大家讲两个公式，一共三个。

2.10 房间203—— 为某一随机变量的概率密度函数的充要条件

并不是任意给一个函数，它就一定可以作为某一随机变量的概率密度函数。

2.11 房间204——通过概率密度函数求概率

我想，现在一定有许多同学迫不及待地想对我说“老师，这个我会，不就是先利用概率密度函数 求出分布函数 ，然后利用分布函数 求概率嘛”。我想说，你们不觉得太费劲了吗？

2.12 房间205——常用分布

本章的六个房间都很重要。不过，如果非要在本章的六个房间中挑出一个最重要的房间的话，那么就是房间205。

2.12.1 二项分布

2.12.2 泊松分布

2.12.3 几何分布

2.12.4 均匀分布

2.12.5 指数分布

2.12.6 正态分布

2.13 房间206——随机变量函数的分布

我要给大家讲两种题型以及对应的解题方法。

2.13.1 第一种题型

2.13.2 第二种题型

2.14 小结

2.15 练习题

第3章 第三层——二维随机变量及其分布

大家之前在运大楼第一层和第二层所需的砖时，运的太多了，多到已经足够大楼第三层用的了！所以我们现在不用运砖了，直接建造房间。

3.1 房间301——二维随机变量的联合分布律、边缘分布律、

条件分布律

“分布律是一张表格，表格中列出了随机变量的所有可能取值以及相应的概率。”而现在，只是在“分布律”一词前面加了修饰词“联合”、“边缘”、“条件”而已，可无论加什么词来修饰，归根结底还是分布律。

3.2 房间302——二维随机变量的联合分布函数、边缘分布函数

正如二维随机变量 的分布律有联合分布律与边缘分布律之分一样，二维随机变量 的分布函数也有联合分布函数与边缘分布函数之分……

3.3 房间303——二维随机变量的联合概率密度函数、边缘概率密度函数、

条件概率密度函数

正如二维随机变量 的分布律有联合分布律、边缘分布律、条件分布律之分一样，二维随机变量 的概率密度函数也有联合概率密度函数、边缘概率密度函数、条件概率密度函数之分。

3.3.1 题型1

3.3.2 题型2

3.3.3 题型3

3.4 房间304——通过联合概率密度函数 求概率

大家猜一下，本节的标题中“概率”两字指的是哪种概率呢？

3.5 房间305——二维均匀分布

一旦题中告诉了二维随机变量 服从均匀分布，那么就相当于告诉了该二维随机变量的联合概率密度函数。

3.6 房间306——随机变量的独立性

提起“独立性”一词，大家是否会感到似曾相识？的确，本书第1章讲过“独立性”，是“随机事件的独立性”，而本节是“随机变量的独立性”……

3.7 房间307——两个随机变量函数的分布

第2章房间206的标题叫“随机变量函数的分布”，而本节的标题叫“两个随机变量函数的分布”，好好琢磨一下。

3.7.1 第一种题型

3.7. 2 第二种题型

3.8 房间308—— 分布、 分布、 分布

其实本节的内容按理来说应该在第6章（数理统计的基本概念）中讲，之所以现在讲，主要是考虑到本节的内容涉及到正态分布以及随机变量的独立性。正态分布是在第2章讲的，随机变量的独立性是在本章讲的，所以我就趁热打铁了。

3.8.1 （读作“kài方”）分布

3.8.2 分布

3.8.3 分布

3.9 小结

3.10 练习题

第4章 第四层——随机变量的数字特征

与上一章一样，没有砖只有房间，就讲四个知识点：数学期望、方差、协方差、相关系数。

4.1 房间401——数学期望的基本计算方法

我并不给大家讲数学期望的定义，而是直接给大家讲数学期望的基本计算方法。这是为什么呢？因为考研中从不考数学期望的定义。

4.1.1 题型1

4.1.2 题型2

4.1.3 题型3

4.1.4 题型4

4.2 房间402——数学期望的性质

考研中除了考查数学期望的基本计算方法之外，还考查数学期望的性质。

4.3 房间403——方差的基本计算方法

房间401是“数学期望的基本计算方法”，而本节是“方差的基本计算方法”，所以大家可以把这两节放在一起来记忆。

4.4 房间404——方差的性质

考研中除了考查方差的基本计算方法之外，还考查方差的性质。

4.4.1 性质1

4.4.2 性质2

4.4.3 性质3

4.4.4 性质4

4.4.5 性质5

4.5 房间405——常见分布的数学期望与方差

本节我会给大家一个表格，请大家一定要把它背下来。

4.6 房间406——协方差与相关系数

协方差的定义大家可以不知道（只掌握协方差的性质就可以了），但是相关系数的定义大家一定要知道。

4.6.1 协方差

4.6.2 相关系数

4.7 小结

4.8 练习题

第5章 第五层——大数定律和中心极限定理

本章的知识点较少，只有三个房间，在考研题中一般是以选择题或填空题的形式来对本章的知识点进行考查。

5.1 房间501——切比雪夫不等式

5.2 房间502——辛钦大数定律

5.3 房间503——列维林德伯格定理（中心极限定理）

5.4 小结

5.5 练习题

第6章 第六层——数理统计的基本概念

本章不讲定义（因为考研中根本不考本章这些定义），只给大家讲一下重要的性质和定理。实际上，考研中很少涉及到本章的知识点，因此大家不必在本章花费过多的时间。

6.1 第一车砖——五个名词

本节给大家介绍五个名词，五个等式（背下来），另外， 、 、 、 、 的对应中文名称也必须背下来。

6.2 房间601——与 和 有关的三条性质

6.3 房间602——与正态总体有关的四条结论

6.4 小结

6.5 练习题

第7章 第七层——参数估计

本章要讲的是“估计”，考研中对于“估计”的考查主要有两种题型。第一种题型是:别人已经对未知参数进行了估计，问你别人的估计是否准确。第二种题型是：让你自己对未知参数进行估计。

7.1 房间701——无偏估计

比如 是未知参数，某人对未知参数 的估计值是 。如果此人估计的比较准确的话，那么我们就称 是未知参数 的无偏估计。仔细看，某人对未知参数 的估计值是 ，那么我们应该如何判断 是否为 的无偏估计呢？别急，请看本节的内容。

7.2 房间702——矩估计

房间701中给大家讲的无偏估计的实质是“被动”，也就是说别人已经对未知参数进行了估计，问你别人的估计是否准确。而接下来的房间702、703、704中我要给大家讲的是“主动”，也就是说让你自己对未知参数进行估计。

7.3 房间703——最大似然估计

“最大似然估计”与上一节讲的“矩估计”都属于点估计，而不属于区间估计。

7.4 房间704——置信区间

房间702 （矩估计）和房间703（最大似然估计）讲的都是估计“点”，只不过是从两个不同的角度来估计而已；而本房间 （房间704）讲的则是估计“段”。

7.5 小结

7.6 练习题

本书是一本独特的概率论与数理统计参考书，以“盖楼”为目标轻松构筑整个体系。读者每阅读完一章，即盖完了大楼的一层，而每层中又分为“砖”和“房间”两部分，先运来“砖”再搭建“房间”，这种安排内容的方式使得全书充满了趣味性。本书的特色除了趣味性之外，还有三个“非常”：语言非常通俗易懂，逻辑非常清晰，例题非常丰富。本书的主要内容包括高等院校概率论与数理统计课程的所有内容，针对考研数学的特殊性进行了强化，同时对于一些传统课本中的重点、难点、疑点，以及最容易被忽视的一些潜在要点做出了全新诠释，另外，由于作者常年从事考研培训，本书还包括相当多的不传之秘——考研数学的套路。本书作者就职于著名培训机构，本书是多年培训生涯的总结，毫无保留。 三类读者（哪怕零基础）最适合阅读本书：正在准备研究生入学考试的读者；正在准备学校期末考试的在校大学生；工作后需要补学或温习概率论与数理统计的读者（如程序员等）。