微分几何

第一章预备知识

1.1欧氏空间的基本概念

1.1.1n维欧氏空间

1.1.2邻域开集闭集

1.1.3连续性同胚

1.1.4连通集

1.1.5紧致性

1.2向量函数

1.2.1向量函数的极限

1.2.2向量函数的连续性

1.2.3向量函数的微导，Taylor公式

1.2.4向量函数的积分

1.2.5向量函数的几个常用性质

1.3一次形式

1.3.1一次形式的定义

1.3.2一次形式组成的空间

1.4Grassmann积

1.4.1Grassnlann积的定义及其简单性质

1.4.2Cartan引理

1.5p-形式及外代数

1.5.1y2-空间

1.5.2p-形式及空间Vp

1.5.3外代数(Grassmann代数)

1.6外微分d

习题

第二章曲线论

2.1曲线的一般概念

2.1.1曲线的概念

2.1.2曲线的弧长自然参数

2.2空间曲线的活动标架(基本三棱形)

2.3空间曲线的基本公式

2.4曲率和挠率

2.4.1曲率和挠率的计算

2.4.2曲率和挠率的几何意义

2.5曲线论的基本定理

2.6几种特殊曲线

2.6.1平面曲线

2.6.2球面曲线

2.6.3曲线在一点的密切圆

2.6.4空间曲线的球面像

2.7曲线的一些整体性质

2.7.1曲线的有关概念

2.7.2平面曲线的几个整体性质

2.7.3空间曲线的某些整体性质

习题

第三章曲面的局部性质

3.1曲面的概念

3.1.1曲面的表示

3.1.2切平面与法向量

3.2曲面的第一基本形式

3.2.1曲面上的光滑函数

3.2.2第一基本形式

3.2.3等距对应

3.2.4共形对应

3.3曲面的第二基本形式

3.4曲面上的曲率

3.4.1法曲率

3.4.2主曲率主方向

3.4.3Gauss曲率平均曲率

3.5曲面上的一些重要曲线

3.5.1曲率线

3.5.2渐近曲线

3.5.3测地线

3.5.4三种重要曲线的等价命题

3.5.5三种重要曲线之间的关系

3.6特殊曲面

3.6.1极小曲面

3.6.2常曲率曲面

3.6.3可展曲面

3.6.4单参数平面族的包络面

3.7曲面论的基本定理

3.7.1曲面的基本公式

3.7.2曲面的基本方程

3.7.3曲面论的基本定理

习题

第四章联络

4.1曲面上的向量场

4.1.1曲面上的光滑函数

4.1.2曲面S在点p∈S的切向量Xp

4.1.3曲面S上的切向量场

4.2曲面上的联络

4.3联络的曲率张量

4.4测地线

习题

第五章曲面的一些整体性质

5.1整体曲面

5.2球面的刚性

5.3Gauss-Bonnet公式

5.3.1局部的Causs-Bonnet公式

5.3.2整体的Gauss-Bonnet公式

5.4凸曲面与积分公式

5.4.1凸曲面

5.4.2积分公式

5.5全平均曲率与Willmove猜想

5.5.1全平均曲率

5.5.2环面的全平均曲率

习题

第六章微分流形初步

6.1微分流形的定义

6.2流形在一点的切空间

6.3Riemann空间

6.4流形上的切向量场

6.4.1基本概念

6.4.2Poisson括号积

6.4.3光滑切向量场的积分曲线

6.5仿射联络

6.5.1仿射联络的定义及局部表示

6.5.2仿射联络的存在性定理

6.5.3仿射联络的挠率和曲率

习题

主要参考文献

　　多年来，一般高校微分几何教材是以经典的初等微分几何为其主要内容，所讨论的主要是三维欧氏空间中的曲面与曲线的局部性质。使用的方法以数学分析为主要工具。由于微分几何的不断发展，也由于现代科学技术发展的需要，在文献的启发影响下，本教材加入了整体微分几何的部分内容，引入了微分流形的基本概念。在方法上，尽可能地用现代微分几何的方法、观点来处理经典微分几何的主要内容，关注整体性质与局部性质的相关联问题，试图架起从古典理论到近代理论的桥梁，及时传达近代数学思想、数学方法和发展精神。　　本书共分六章，第一章综述了预备知识；第二章研究了曲线的局部性质及一些整体性质；第三章研究了曲面的经典内容曲面的局部性质；第四章介绍了曲面上的联络，这是近代微分几何中一个非常重要的概念；第五章讨论了曲面的整体性质，为近代微分几何的研究提供了一个直观背景；第六章介绍了微分流形的基本概念，这是近代数学中具有代表性的基本概念之一，每章均配有习题，以巩固知识并训练解题技巧。　　本书可作为大学数学专业的教材，也可供有关的数学工作者参考。