偏微分方程数值解法

前言第1章有限差分法1.1偏微分方程概述1.1.1偏微分方程的基本概念1.1.2偏微分方程分类1.1.3定解问题与边界条件1.2常微分方程的有限差分法1.2.1导数的差分近似1.2.2线性常微分方程边值问题的有限差分法求解1.2.3差分方程解的存在性和唯一性1.2.4差分方程的收敛性1.3偏微分方程有限差分法原理1.3.1微商与差商1.3.2有限差分方程的构建1.3.3从积分形式出发建立差分格式1.3.4显式差分格式与隐式差分格式1.4边界条件和初始条件的处理方法1.4.1矩形计算域边界条件处理1.4.2非规则计算域边界条件处理1.4.3采用单元积分法处理边界条件1.4.4初始条件处理1.5有限差分格式的相容性、稳定性与收敛性1.5.1偏微分方程定解问题的适定性1.5.2有限差分格式的相容性1.5.3有限差分格式的收敛性1.5.4有限差分格式的稳定性1.5.5Lax等价定理1.6椭圆型方程的有限差分格式1.6.1五点差分格式1.6.2非均匀网格上的差分格式1.6.3非矩形计算域上的差分格式1.6.4差分方程解法1.7双曲型方程的有限差分格式1.7.1一阶波动方程的差分格式1.7.2二阶波动方程的差分格式1.8抛物型方程的有限差分格式1.8.1一维抛物型方程的差分格式1.8.2二维抛物型方程的差分格式1.8.3一维对流扩散方程的差分格式1.9数值效应1.9.1差商逼近微商的近似性质1.9.2物理耗散和弥散1.9.3数值耗散和弥散1.9.4数值振荡效应习题第2章变分法与加权余量法2.1变分法概述2.1.1变分法的基本概念2.1.2变分的特性2.2欧拉方程2.2.1一维固定端点问题的欧拉方程2.2.2一维可动端点问题的欧拉方程2.2.3二维和三维问题的欧拉方程2.2.4待定边界的变分问题2.3里兹法2.3.1里兹法的基本思想2.3.2微分方程对应的变分问题2.4加权余量法2.4.1加权余量法的基本思想2.4.2配置法2.4.3子区域法2.4.4最小二乘法2.4.5矩法2.4.6伽辽金法2.4.7伽辽金法与里兹法的关系2.4.8二维偏微分方程化为常微分方程求解2.5强解与弱解2.5.1弱解积分表达式2.5.2强解积分表达式2.6伽辽金法求解初值问题2.6.1波动方程的伽辽金积分表达式2.6.2扩散方程的伽辽金积分表达式2.6.3非定常问题求解2.7伽辽金法求解非线性问题2.8基函数的选取习题第3章有限元法3.1有限元法的基本原理3.1.1有限元法基本原理3.1.2有限元法解题步骤3.2有限元列式方法3.2.1基于变分原理的有限元列式方法3.2.2基于加权余量法的有限元列式方法3.3单元的形状和自然坐标3.3.1单元的形状3.3.2自然坐标3.4插值函数3.4.1插值函数概述3.4.2单元的插值函数3.4.3基本单元及其线性插值函数3.5曲边单元与等参单元3.6拟协调单元和埃尔米特多项式插值3.7高斯积分3.7.1高斯积分概述3.7.2一维线段基本单元的高斯积分3.7.3二维正方形基本单元的高斯积分3.7.4三维正方体基本单元的高斯积分3.7.5三角形基本单元的高斯积分3.7.6四面体基本单元的高斯积分3.8有限元法求解步骤3.8.1写出积分表达式3.8.2区域剖分3.8.3确定单元基函数3.8.4单元分析3.8.5总体合成3.8.6边界条件处理3.8.7解有限元方程3.9有限元法求解偏微分方程边值问题3.9.1写出积分表达式3.9.2区域剖分3.9.3确定单元基函数3.9.4单元分析3.9.5总体合成3.9.6边界条件处理3.9.7解有限元方程3.10非线性问题的有限元法3.11非定常问题的有限元法3.11.1抛物型方程的步进法3.11.2双曲型方程的步进法3.11.3非线性方程的步进法3.12泰勒伽辽金有限元法3.12.1一维对流方程3.12.2多维对流扩散方程的泰勒伽辽金有限元格式习题第4章有限体积法4.1流体流动与传热基本方程4.1.1连续性方程4.1.2动量方程4.1.3能量方程4.1.4组分质量守恒方程4.1.5状态方程4.1.6牛顿流体运动控制方程4.1.7湍流概述4.1.8流动控制方程的通用形式4.2有限体积法的基本思想和特点4.3一维稳态扩散问题的有限体积法4.4多维稳态扩散问题的有限体积法4.4.1二维稳态扩散问题的有限体积法4.4.2三维稳态扩散问题的有限体积法4.5一维对流扩散问题的有限体积法4.6多维对流扩散问题的有限体积法4.6.1二维对流扩散问题的有限体积法4.6.2三维对流扩散问题的有限体积法4.7有限体积法离散格式的特征4.8有限体积法常用的离散格式48.1对流扩散问题的一阶离散格式4.8.2混合离散格式4.8.3指数离散格式与乘方离散格式4.8.4QUICK格式4.9压力与速度耦合问题的有限体积法4.9.1压力与速度耦合问题4.9.2交错网格技术4.9.3SIMPLE算法4.9.4SIMPLER算法4.9.5SIMPLEC算法4.10有限体积法离散方程的解法4.10.1引言4.10.2TDMA算法4.10.3TDMA算法在二维问题中的应用4.10.4TDMA算法在三维问题中的应用4.11非稳态流动问题的有限体积法4.11.1非稳态流动问题的守恒方程4.11.2非稳态扩散问题的守恒方程4.12非稳态对流扩散问题的离散方程及其解法4.12.1非稳态对流扩散问题一阶差分格式4.12.2SIMPLE算法在瞬态问题中的应用4.13边界条件设定方法4.13.1概述4.13.2入口边界条件处理4.13.3出口边界条件处理4.13.4固定壁面边界条件处理4.13.5压力边界条件处理4.13.6对称边界条件处理4.13.7周期或循环边界条件处理4.13.8处理边界条件潜在问题习题参考文献

　　本书系统地阐述了偏微分方程数值解法的理论基础及其在土建类专业中的应用。全书分有限差分法、变分法与加权余量法、有限元法以及有限体积法四章。本书起点较低，并不一味追求数学的严密性和逻辑性，而是尽量为读者提供偏微分方程数值解法的有关基本概念、基本原理和解决实际问题的方法与步骤，层次清晰，深入浅出，便于自学。　　本书可作为高等学校工科相关专业的本科教材，也可供工科专业研究生、教师和广大科技人员参考。