复变函数

第1章复数及复平面

1.1复数及其几何表示

1.1.1复数域与复数的公理化定义

1.1.2复数域是实数域的扩充

1.1.3复数的运算

1.1.4共轭复数

1.1.5复数的几何表示

1.1.6复数的三角表示

1.1.7复球面及无穷大

习题1.1

1.2复平面的拓扑

1.2.1初步概念

1.2.2Lordan曲线

习题1.2

小结

复习题

第2章复变函数

2.1复变函数的极限与连续性

2.1.1复变函数的概念

2.1.2复变函数的极限

2.1.3复变函数的连续性

习题2.1

2.2解析函数

2.2.1复函数的导数

2.2.2解析的概念

2.2.3复函数可导与解析的条件

习题2.2

2.3初等函数

2.3.1初等解析函数

2.3.2初等多值函数

习题2.3

小结

复习题

第3章复变函数的积分

3.1复变函数的积分

3.1.1复积分的定义与性质

3.1.2计算复积分的参数方程法

3.1.3典型例子

习题3.1

3.2Cauchy积分定理

3.2.1单连通区域的Cauchy积分定理

3.2.2CauehyGoursat积分定理的证明

3.2.3复函数的NewtonLeibniz公式

3.2.4多连通区域上的Cauchy积分定理

3.2.5典型例题

习题3.2

3.3Cauchyr积分公式

3.3.1解析函数的Cauchy积分公式

3.3.2解析函数的任意阶可导性和Morera定理

3.3.3Cauchy不等式和Liouville定理

3.3.4调和函数

习题3.3

小结

复习题

第4章级数

4.1级数的基本性质

4.1.1复数项级数

4.1.2复变函数项级数

4.1.3幂级数

习题4.1

4.2Taylor展式

4.2.1解析函数的Taylor展式

4.2.2解析函数的零点与唯一性

习题4.2

4.3Laurent展式

4.3.1解析函数的Laurent展式

4.3.2解析函数的孤立奇点

4.3.3解析函数在无穷远点的性质

4.3.4整函数与亚纯函数的概念

习题4.3

小结

复习题

第5章留数

5.1留数定理

5.1.1孤立奇点的留数

5.1.2留数的计算

习题5.1

5.2留数定理的应用

5.2.1用留数定理求积分

5.2.2亚纯函数的零点与极点的个数

5.2.3辐角原理

5.2.4Rouch定理及其应用

习题5.2

小结

复习题

第6章保形映射与解析延拓

6.1单叶解析函数的映射性质

6.1.1单叶解析函数的基本性质

6.1.2导数的几何意义

习题6.1

6.2分式线性变换及其映射性质

6.2.1分式线性函数

6.2.2分式线性函数的映射性质

习题6.2

6.3最大模原理

6.3.1最大模原理

6.3.2Schwarz引理

习题6.3

6.4Riemann定理及边界对应

习题6.4

6.5解析延拓

6.5.1解析延拓的概念

6.5.2解析函数元素

6.5.3对称原理

6.5.4用幂级数延拓，奇点

习题6.5

小结

复习题

习题答案或提示

参考文献

索引

　　复变函数是数学专业的一门重要基础课程。目前已有了许多复变函数教材，它们有着各自的特色和优点。由于编者的出发角度不同，也存在一定的局限性。　　本书仅选取了复变函数领域中最重要的基本理论，而略去了一些难度过大、内容过于专门化的理论。例如，略去了Dirichlet问题、特殊函数、Christoffel多角形映射定理、过于复杂的积分计算、无穷乘积及部分分式等，因为这些内容可通过专门化的教材来学习。对Riemann映射定理、解析延拓，我们也仅作了简单的介绍。重点强化了本学科的基本内容：解析函数、Cauchy积分、幂级数和Laurent级数、留数、分式线性变换和最大模定理。　　本书可作为高等师范院校数学系各专业学生的教学用书，也可供相关专业的教师和科技工作者参考。　　本书介绍了复变函数的基本概念、基本理论和方法，包括复数及复平面、复变函数的极限与连续性、复函数的积分理论、级数理论、留数理论及其应用、保形映射与解析延拓等。本书在内容的安排上深入浅出，表达清楚，系统性和逻辑性强。书中列举了大量例题来说明复变函数的定义、定理及方法，并提供了丰富的习题，便于教师教学与学生自学。每章末都有小结，并配有复习题。小结对该章的主要内容作了归纳和总结，方便学生系统复习。　　本书可作为高等师范院校数学系各专业学生的教学用书，也可供相关专业的教师和科技工作者参考。