极限论与微分学新探

序

前言

第1章实数的完备性

1.1有理数集Q的性质

1.1.1四则运算性质（代数结构）

1.1.2全序性质（序结构）

1.1.3拓扑结构

1.2实数的定义

1.3实数的其他公理化引入

1.4数列极限初论

1.5定义实数的各公理所对应的完备化定理间之等价性

1.6任何抽象距离空间之完备性

1.7极限点定理与有限覆盖定理

第2章数列的极限

2.1数列极限的存在

2.2数列极限存在的某些传递性

2.3Stolz（施笃兹）定理

2.4∞／∞，0／0与1∞型极限

2.5数列的上、下极限

第3章数项级数

3.1级数的敛散性及该性质的传递性

3.2同号项级数的敛散性及其判别法

3.3变号级数的收敛（条件收敛）与绝对收敛

3.4绝对收敛级数与条件收敛级数的重排级数之特性

3.5级数的乘法

3.6累次级数与二重级数

3.7无穷乘积

第4章函数的连续性

4.1集的映射与函数（泛函）

4.2函数的极限及其存在性判别法（含：函数的上、下极限）

4.3函数极限的基本性质及其存在性的传递

4.4无穷小量（或无穷大量）之间的比较

4.5函数在一点的连续性及相关性质

4.5.1多项式函数的连续性

4.5.2三角函数和反三角函数的连续性

4.5.3对数函数和指数函数的连续性

4.5.4幂函数的连续性

4.6距离空间中的泛函（函数）之极限性质（含：方向极限、累次极限与重极限）

4.7距离空间的初等拓扑性质（含：上、下半连续泛函）

4.8紧集上连续泛函（函数）的整体性质

4.9连通集上连续函数的性质

4.10有限维赋范空间中的线性泛函与凸泛函

第5章一元函数的微分学

5.1导数及其求法

5.2高阶导数

5.3函数的单调性、局部极值性、凸凹性及作图

5.4微分中值公式与求不定型极限的L，Hospital法则

5.5函数的微分

5.6Taylor定理（公式）

第6章多元函数的微分学

6.1偏导数（含：方向导数）

6.2多元函数的微分

6.3空间Rn到Rm中映像（算子）的微分

6.4隐函数（隐映像）定理及逆映像定理

6.5Taylor公式及条件极值理论

6.6几何上的几点应用（切线、切面及法向量）

索引

《极限论与微分学新探》既可以作为数学分析的教材，亦可作为高年级大学生、研究生和需用此相应知识的科教人员的参考书。本书以全新的视角来讲述经典的极限和微分理论，弥补了现行教材的一些不足，同时有着鲜明的特色。本书在传统的数学分析理论中植入一些近代数学的思想、方法和内容，同时参照近代数学的一些观点来统筹安排其内容，并注重激活读者的创新性思维，逐步培养他们的独立思考和学习研究的能力。