复变函数

前言第1章 复数系统及复平面 1.1 复数域和复平面 1.2 度量、开集、区域 1.3 复球面以及球极投影 1.4 完备性、紧性 习题第2章 复变量函数的基本知识 2.1 解析函数 2.2 线积分 2.3 幂级数 2.4 初等解析函数 习题第3章 复积分 3.1 Cauchy\|Goursat定理

前言第1章 复数系统及复平面 1.1 复数域和复平面 1.2 度量、开集、区域 1.3 复球面以及球极投影 1.4 完备性、紧性 习题第2章 复变量函数的基本知识 2.1 解析函数 2.2 线积分 2.3 幂级数 2.4 初等解析函数 习题第3章 复积分 3.1 Cauchy\|Goursat定理 3.2 Cauchy定理、积分公式及应用 3.3 *一般形式的Cauchy定理 3.4 Laurent级数与孤立奇点 3.5 留数定理和辐角原理 3.6 广义积分 习题第4章 最大模与Nevanlinna特征函数 4.1 最大模原理及应用 4.2 Hadamard三圆定理 4.3 *Phragmén\|Lindelf定理 4.4 *Nevanlinna理论初步 习题第5章 复变函数正规族 5.1 连续函数正规族 5.2 解析函数与亚纯函数正规族 习题第6章 共形映照 6.1 基本概念 6.2 线性变换 6.3 初等解析函数的共形区域 6.4 Riemann映照定理及边界对应原理 6.5 对称原理与多角区域上的共形映照 6.6 单位圆盘上的单叶函数 习题第7章 调和函数 7.1 调和函数的基本性质及其构造 7.2 Dirichlet边值问题 7.3 调和测度与Green函数 习题第8章 整函数与亚纯函数 8.1 Weierstrass无穷乘积 8.2 Mittag\|Leffler主部分解 习题第9章 Riemann曲面 9.1 初等Riemann曲面 9.2 Weierstrass解析开拓 9.3 *芽与层 9.4 *Riemann曲面的概念 9.5 *基本群、覆盖空间、单值化定理第10章 双曲几何 10.1 单位圆盘上的双曲几何 10.2 双曲度量原理附录 度量空间参考文献索引

本书用一小半篇幅介绍19世纪中叶建立的经典复变函数的基本结论： 复数域、解析函数、Cauchy定理、Cauchy积分公式、Laurent级数展开、辐角原理、留数定理及其在实积分计算中的应用等。另一大半篇幅主要介绍复解析函数所特有的基本结论，同时涉及到最新发展的一些结论和相关学科。主要内容有： 在最大模定理后介绍了Nevanlinna理论；在正规族的基本结论后用Zalcman最新方法简明地讨论了正规族，并得到Picard大、小定理与Montel定理间的等价关系；介绍了共形映照和单叶函数的基本结论；在初等Riemann曲面后进一步介绍了Riemann曲面的思想、概念和基本结论；通过圆盘上的Drichlet边值问题，介绍调和函数的基本知识，通过一般的Drichlet边值问题，介绍调和测度、 Green函数等；最后，从双曲度量的角度介绍了双曲几何及其应用，用几何的观点来认识复解析函数。 本书内容丰富，逻辑严谨，循序渐进，可作为大学数学系、应用数学系本科生同名课程的教材以及相关专业的研究生、教师的参考书，并可供相关科技工作者阅读。