数学哲学

第1章 “万物皆数”观点的破灭与再生--第一次数学危机与实数理论1.1 毕达哥拉斯学派的信条--万物皆数1.2 第一个无理数1.3 无理数之谜1.4 连续性的奥秘1.5 戴德金分割1.6 连续归纳原理1.7 “万物皆数”的再生1.8 勾股定理的多种证明1.9 无理数与第一次数学危机1.10 中国古代文化中的“万物皆数”1.11 一分为二和一分为三第2章 哪种几何才是真的--非欧几何与现代数学的“公理”2.1 欧几里得的公理方法2.2 欧几里得的几何定理是真理吗2.3 非欧几何的发现2.4 哪一个是真的2.5 公理是什么2.6 古今由圆外一点向圆作切线的不同2.7 定义的多样性和局限性第3章 变量·无穷小·量的鬼魂--第二次数学危机与极限概念3.1 数学怎么描述运动与变化3.2 瞬时速度3.3 微分是量的鬼魂吗3.4 无穷小量的再生3.5 不用极限的微积分第4章 自然数有多少--数学中的“实在无穷”概念4.1 伽利略的困惑4.2 康托，闯入无穷王国的先锋4.3 希尔伯特的“无穷旅店”4.4 所有的无穷都一样吗4.5 自然数究竟有多少4.6 有理数的自白4.7 素数无穷的不同表述4.8 数学的严格第5章 罗素悖论引起的轩然大波--第三次数学危机5.1 逻辑-集合-数5.2 罗素悖论5.3 集合的层次理论5.4 集合论的公理化5.5 连续统假设5.6 地平线仍在前方5.7 悖论与危机第6章 数是什么--对数学对象本质的几种看法6.1 工是什么6.2 柏拉图主义--数存在于理念世界6.3 唯名论观点--数是纸上的符号或头脑中特定的概念6.4 康德：数是思维创造的抽象实体6.5 约定论的观点--数学规则不过是人的约定6.6 逻辑主义--算术是逻辑的一部分6.7 直觉主义--数学概念是自主的智力活动6.8 形式主义一把数学化为关于有限符号排列的操作6.9 争论与统一6.10 存在与构造6.11 0.9=1吗第7章 是真的，但又不能证明--哥德尔定理7.1 哥德尔定理7.2 说谎者悖论与理查德悖论7.3 算术有多少种7.4 数学的力量与局限7.5 数学的局限与加密7.6 数学的局限与博弈第8章 数学与结构--布尔巴基学派的观点8.1 在逻辑长链的背后8.2 形形色色的加法8.3 基本的结构8.4 分析与综合的艺术8.5 布尔巴基学派和新数运动第9章 命运决定还是意志自由--必然性与偶然性的数学思考9.1 两种对立的哲学观点9.2 从偶然产生必然9.3 从必然产生偶然9.4 一场风暴或一口痰能影响民族的命运吗9.5 什么叫必然?什么叫偶然9.6 抽屉原理9.7 五百年必有王者兴第10章 举例子能证明几何定理吗--演绎与归纳的对立与统一10.1 例证法--用演绎支持归纳10.2 几何定理也能用例子证明10.3 进一步的思考10.4 验证三角形内角和定理10.5 精确数学和近似数学10.6 例证法与动态几何第11章 计算机正在改变数学11.1 四色定理的机器证明11.2 计算机证明的定理可靠吗11.3 数学和计算机共同发展11.4 《九章算术》的算法思想11.5 几何信息搜索系统简介11.6 机器证明软件简介第12章 数学与哲学随想12.1 数学的领域在扩大，哲学的地盘在缩小12.2 数学始终在影响着哲学12.3 抽象与具体12.4 涉及具体问题时，语言必须精确严格12.5 个别与一般12.6 事物与概念12.7 “我不需要这个假设”12.8 证实与证伪12.9 数学世界是人的创造，但它是客观的12.10 事物的总体性12.11 变化中的不变12.12 预言12.13 “没有两件事物完全一样”12.14 物极必反12.15 论怀疑12.16 量变与质变12.17 罗素与“事素”参考文献