数学物理方法

第一篇线性空间及线性算子

第一章R3空间的向量分析

1.1 向量的概念

1.2 R3空间的向量代数

1.3 R3空间的向量分析

1.4 R3空间中向量分析的一些重要公式

第一章习题

第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析

2.1 R3空间中的曲线坐标系

2.2 曲线坐标系中的度量

2.3 曲线坐标系中标量场梯度的表达式

2.4 曲线坐标系中向量场散度的表达式

2.5 曲线坐标系中向量场旋度的表达式

2.6 曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符V2的表达式

第二章习题

第三章线性空间

3.1 线性空间的定义

3.2线性空间的内积

3.3 Hilbert（希尔伯特）空间

3.4 线性算符

3.5 线性算符的本征值和本征向量

第三章习题

第二篇 复变函数

第四章复变函数的概念

4.1 映射

4.2 复数

4.3 复变函数

第四章习题

第五章解析函数

5.1 复变函数的导数

5.2复变函数的解析性

5.3 复势

5.4解析函数变换

第五章习题

第六章复变函数积分

6.1 复变函数的积分

6.2 Cauchy（柯西）积分定理

6.3 Cauchy（柯西）积分公式

6.4 解析函数高阶导数的积分表达式

第六章习题

第七章复变函数的级数展开

7.1 复变函数项级数

7.2解析函数的Taylor（泰勒）展开

7.3 Taylor展开的理论应用

7.4解析函数的Laurent（洛朗）展开

第七章习题

第八章留数定理及其在实积分中的应用

8.1 留数定理

8.2 留数的一般求法

8.3 解析函数在无穷远点的留数

8.4 留数定理在实积分中的应用

8.5 Hilbert（希尔伯特）变换

第八章习题

第三篇 积分变换与δ函数

第九章Fourier（傅里叶）变换

9.1 Fourier级数

9.2 Fourier变换

9.3 Fourier变换的基本性质

第九章习题

第十章Laplace（拉普拉斯）变换

10.1 Laplace（拉普拉斯）变换

10.2 Laplace变换的基本性质

10.3 Laplace变换的反演

10.4 Laplace变换的应用

第十章习题

第十一章6函数

11.1 δ函数的定义

1l.2 δ函数的性质

11.3 δ函数的导数

11.4三维δ函数

11.5 δ函数的Fourier变换及Fourier级数展开

第十一章习题

第十二章小波变换初步

12.1 Gabor（伽博）变换

l2.2 小波变换

12.3 小波变换中的Heisenberg（海森堡）不确定性关系

第四篇 数学物理方程

第十三章 波动方程、输运方程、Poisson（泊松）方程及其定解问题

13.1 二阶线性偏微分方程的普遍形式

13.2波动方程及其定解条件

l3.3输运方程及其定解条件

13.4 Poisson方程及其定解条件

13.5 Laplace方程和调和函数

13.6三类方程定解问题小结

第十三章习题

第十四章分离变量法

14.1 齐次方程齐次边界条件下的分离变量法

14.2 Sturm—Liouville（斯特姆—刘维尔）本征值问题

14.3 非齐次方程齐次边界条件下的分离变量法

14.4 非齐次边界条件下的分离变量法

14.5分离变量法小结

第十四章习题

第十五章 曲线坐标系下方程的分离变量

15.1 球坐标系下方程的分离变量

15.2柱坐标系下方程的分离变量

15.3 二阶线性常微分方程的级数解法

第十五章习题

第十六章球函数

16.1 Legendre（勒让德）多项式

16.2 Legendre多项式的主要性质

16.3 具有轴对称的Laplace方程的求解

16.4连带Legendre函数

16.5 球函数

附录：球函数的加法公式

第十六章习题

第十七章柱函数

17.1 Bessel（贝塞尔）函数

17.2 Bessel函数的递推关系

17.3柱函数的定义

17.4整数阶Bessel函数Jm（x）的生成函数

17.5 Bessel方程的本征值问题

17.6 虚宗量Bessel函数

17.7 Hankel（汉克尔）函数

17.8 球Bessel函数

第十七章习题

第十八章Green（格林）函数法

18.1 微分算子的基本解和Green函数的定义

18.2 Laplace算子的基本解

18.3 Laplace算子的Green函数

18.4 Laplace算子的镜像Green函数法

18.5 Helmholtz算子的基本解

18.6输运算子的Green函数

18.7波动算子的基本解

第十八章习题

第十九章其他求解方法及方程

19.1积分变换法

19.2行波法

19.3 冲量定理法

19.4 Schrodinger（薛定谔）方程、谐振子势

附录：Hermite多项式的性质

第十九草习题

第二十章非线性数学物理方程初步

20.1 Huygens（惠更斯）等时摆问题

20.2 KdV方程和孤立波

20.3 一类非线性方程的齐次平衡解法

第五篇 变分法初步

第二十一章泛函的变分

21.1 泛函的概念

21.2泛函的变分

第二十二章变分原理

22.1 泛函的极值

22.2 变分原理、Euler—Lagrange（欧拉—拉格朗日）方程

22.3 Hamilton（哈密顿）原理

22.4 Hamilton泛函和正则方程

22.5带约束条件的泛函变分

22.6 Noether（诺德）定理

第二十一、二十二章习题

附录：分离变量法

主要参考文献

《数学物理方法》可作为高等学校物理类专业数学物理方法课程的教材，也可供有关专业的研究生、教师和科技人员参考。《数学物理方法》是在兰州大学“数学物理方法”课程所用讲义基础上编纂而成。《数学物理方法》紧密结合物理教学实际，阐述简明、条理清晰，主要涉及线性空间、复变函数及数学物理方程等内容。《数学物理方法》在兼顾基本知识点的基础上，力图更加详尽地阐述基本概念，尽力做到与物理学应用相关的数学方法均给予介绍，并给出这些数学工具必备的数学基础。