高等数学与数学模型

第1章 微分学

1.1 预备知识1

1.1.1 集合1

1.1.2 实数与数轴2

1.1.3 有序数组与直角坐标系3

1.2 函数5

1.2.1 函数及其表示5

1.2.2 复合函数与反函数7

习题1.2 8

1.3 极限9

1.3.1 极限的概念9

1.3.2 极限的运算法则11

1.3.3 数量级与函数的有限展开14

习题1.3 17

1.4 连续函数17

习题1.4 20

1.5 可微函数21

1.5.1 微分与导数21

1.5.2 微分与导数的意义24

1.5.3 微分法25

1.5.4 高阶导数与高阶微分29

1.5.5 边际与弹性31

习题1.5 32

1.6 泰勒展开式33

1.6.1 拉格朗日公式33

1.6.2 泰勒展开式37

1.6.3 函数的特性40

习题1.6 43

1.7 函数的极值44

1.7.1 函数的极大值与极小值44

1.7.2 函数的最大值与最小值46

习题1.7 48

1.8 多元函数微分学49

1.8.1 多元函数的极限与连续49

1.8.2 偏导数与全微分50

1.8.3 隐函数的导数55

1.8.4 泰勒展开式56

习题1.8 57

1.9 多元函数的极值57

1.9.1 多元函数的极值57

1.9.2 条件极值59

习题1.9 62

第2章 不定积分与简单微分方程

2.1 不定积分的概念与性质64

2.1.1 原函数与不定积分的概念64

2.1.2 不定积分的性质及基本积分公式65

习题2.1 68

2.2 基本积分法69

2.2.1 换元积分法69

2.2.2 分部积分法76

习题2.2 79

2.3 有理函数积分80

习题2.3 83

2.4 简单微分方程83

2.4.1 基本概念84

2.4.2 变量分离方程86

2.4.3 一阶线性微分方程88

2.4.4 全微分方程93

2.4.5 可降阶的二阶微分方程96

2.4.6 二阶线性微分方程98

习题2.4 105

第3章 积分学

3.1 定积分的概念和性质108

3.1.1 两个典型实例108

3.1.2 定积分的定义及其几何意义110

3.1.3 定积分的性质112

习题3.1 113

3.2 定积分的计算114

3.2.1 微积分基本定理114

3.2.2 定积分的计算117

习题3.2 121

3.3 定积分的应用122

3.3.1 微元法122

3.3.2 定积分在几何学中的应用122

3.3.3 定积分在物理上的应用128

3.3.4 定积分在其他方面的应用131

习题3.3 133

3.4 广义积分134

3.4.1 无穷区间上的广义积分134

3.4.2 有限区间上无界函数的广义积分（瑕积分）136

习题3.4 138

3.5 二重积分138

3.5.1 二重积分的概念与性质138

3.5.2 二重积分的计算141

‘3.5.3 广义二重积分148

习题3.5 150

第4章 线性代数

4.1 矩阵的概念及运算152

习题4.1 155

4.2 矩阵的分块运算156

习题4.2 157

4.3 初等变换与初等阵158

习题4.3 162

4.4 矩阵求逆、秩标准形的唯一性162

习题4.4 166

4.5 向量组的线性相关、线性无关与矩阵的秩167

习题4.5 172

4.6 线性方程组的解173

习题4.6 176

4.7 行列式177

习题4.7 184

4.8 特征值与特征向量186

习题4.8 190

4.9 实对称阵的正交对角化190

习题4.9 194

4.1 0正定阵195

习题4.1 0196

第5章 概率论

5.1 随机事件及其概率198

5.1.1 随机试验与随机事件198

5.1.2 事件的运算及其含义199

5.1.3 概率的公理化定义及基本性质200

5.1.4 为事件赋予概率的方法201

习题5.1 207

5.2 条件概率与贝叶斯公式208

5.2.1 条件概率208

5.2.2 事件的独立性209

5.2.3 乘法公式与全概率公式210

5.2.4 贝叶斯公式211

习题5.2 215

5.3 随机变量216

5.3.1 随机变量的概念216

5.3.2 离散型随机变量217

5.3.3 随机变量的分布函数220

5.3.4 连续型随机变量220

5.3.5 7白松过程及有关的分布224

习题5.3 228

5.4 随机向量228

5.4.1 联合密度函数与分布函数229

5.4.2 边际密度230

5.4.3 条件密度231

5.4.4 独立性232

5.4.5 乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式233

习题5.4 235

5.5 随机变量函数的分布235

5.5.1 离散型随机变量函数的分布236

5.5.2 连续型随机变量函数的分布236

习题5.5 239

5.6 数字特征240

5.6.1 数学期望240

5.6.2 方差244

5.6.3 协方差与相关系数246

5.6.4 条件期望与条件方差249

习题5.6 252

5.7 极限定理254

5.7.1 马尔可夫不等式254

5.7.2 大数定律255

5.7.3 辛心极限定理256

习题5.7 260

5.8 正态随机向量260

5.8.1 均值向量与协方差阵260

5.8.2 E态随机向量261

第6章 数学模型

6.1 传染病的SIR模型265

6.1.1 微分方程稳定性理论简介265

6.1.2 SIR模型266

6.1.3 一个实例268

6.2 个人积累制和现收现付制下养老金的均衡收益率及其影响因素270

6.2.1 重叠代模型与系统的稳态270

6.2.2 个人积累制的特征272

6.2.3 现收现付制的特征273

6.2.4 结论与启示274

6.3 资本资产定价模型275

6.4 竞争与合作：对策与重复对策279

6.4.1 OIO国彩电业价格联盟的对策论模型280

6.4.2 重复对策：产权制度与1959—1961年中国农业危机282

6.5 不对称信息：道德风险与逆向选择284

6.5.1 道德风险问题的描述与模型的假定284

6.5.2 约束优化问题的K—T条件286

6.5.3 对称信息下的最优保险原理287

6.5.4 不对称信息下激励与保险的权衡288

6.5.5 最低工资对激励可能造成的扭曲289

6.5.6 采购问题中的信息甄别290

6.5.7 逆向选择与教育信号传递292

6.6 激励强度原理与相对业绩指标294

6.6.1 激励强度原理294

6.6.2 相对业绩指标与激励的信息量原则297

6.6.3 工作竞赛模型299

附录标准正态分布函数值表302

习题参考答案304

索引320

主要参考文献325

《高等数学与数学模型》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，根据作者多年的教学经验在上一版的基础上修订而成。本次修订中针对医科类院校学生对微积分、线性代数及概率论三门课程的实际需求，注重数学思想和理念的讲解，并且精选了生物数学、经济管理等领域的数学建模案例，使得教材通俗易懂，易教易学。全书内容丰富。取材广泛，信息量大，书中增加了标有“*”的章节，可供教师根据实际教学需求选讲。《高等数学与数学模型》主要内容包括共分6章：微分学、不定积分与简单微分方程、积分学、线性代数、概率论、数学模型，《高等数学与数学模型》可供高等院校医药类各专业作教材使用，也可供从事医学及卫生工作的科技人员学习参考。