物理学中的群论

第一章 群及其基本代数性质

1.1 集合、等价关系、映照

1.2 群的定义

1.3 群的例子

1.4 群的共轭类和单旁集

1.5 不变子群、中心和商群

1.6 同态、同构和扩张

1.7 直积群

习题一

第二章 有限群表示论基础

2.1 群表示

2.2 有限群表示论的一些基本定理

2.3 正则表示

2.4 特征标表

2.5 直积群的不可约表示及内直积群表示的约化

2.6 同构操作群与它的基

2.7 投影算子

2.8 Clebsch-Gordan系数

2.9 对称算子和不可约张量算子

2.10 实表示

习题二

第三章 诱导表示和投影表示的理论

3.1 基础表示

3.2 分导表示和诱导表示

3.3 诱导表示的几个定理

3.4 有限群的投影表示

3.5 投影表示的因子组

3.6 投影表示的正交性关系

3.7 覆盖群及不可约投影表示的构造方法

习题三

第四章 点群

4.1 点群的对称操作和对称元素

4.2 对称操作的几个组合公式

4.3 类的划分

4.4 第一类点群的结构

4.5 第二类点群的结构

4.6 晶体32点群的国际符号和晶系

4.7 点群的特征标表

4.8 第二类点群的完整导出

习题四

第五章 空间群的结构

5.1 欧几里得群

5.2 空间群

5.3 系：平移子群对旋转元素的限制

5.4 型：旋转元素对平移群型式的限制

5.5 螺旋轴、滑移面和空间群的记号

5.6 230个三维空间群推引的举例

5.7 17个二维平面空间群结构和的推引

习题五

第六章 空间群的表示

6.1 平移群的表示

6.2 空间群的布里渊区域

6.3 小群和波矢星[k]

6.4 小表示和投影表示

6.5 空间群的不可约表示

6.6 空间群O5h（fm3n）和O3h（Pm3n）的一些不可约表示举例

6.7 空间群不可约表示实性的判据空间群内直积表示的简约系数

6.9 不可约表示的Herring方法

6.10 Herring方法的举例

习题六

第七章 磁群的结构

7.1 点群和空间群向磁群的推广

7.2 磁点群的结构

7.3 磁空间群的结构

习题七

第八章 磁群的共表示理论

8.1 具有反幺正元素群的共表示

8.2 有限群表示论在共表示情况下的推广

8.3 诱导共表示H↑M

8.4 H↑M的可约性和不可约性的判据

8.5 共表示的约化和内直积的分解

8.6 不可约共表示基的正交性？

8.7 磁点群的共表示

58.8 磁空间群的共表示

习题八

第九章 置换群

9.1 置换

9.2 类、分法和杨氏图

9.3 Frobenius公式和不可约表示维数的图形方法

9.4 计算置换群不可约表示特征标的图形方法

9.5 特征标按子群元素的约化公式

9.6 标准基

9.7 标准不可约表示的矩阵

9.8 杨氏算符和非标准基

9.9 全反对称基的构成

9.10 外积

9.11 群G的N次对称幂和反对称幂表示的特征标公式

习题九

第十章 连续群--李群

10.1 李群

10.2 群上不变积分

10.3 无穷小群和无穷小产生子

10.4 无穷小变换和无穷小算子

10.5 一些变换李群的无穷小算子

习题十

第十一章 SU（2）、R（3）、双值群和洛伦兹群

11.1 SU（2）群和R（3）群

11.2 SU（2）群的不可约表示

11.3 旋转群R（3）表示和旋转双值群R*（3）

11.4 双值点群

11.5 角动量

11.6 二角动量耦合和SU（2）群内直积表示的约化

11.7 SU（2）群的C-G系数

11.8 lorentz群

11.9 SL（2，C）群的不可约表示

习题十一

第十二章 GL（M，C）群和SU（M）群的张量表示

12.1 GL（M，C）群的协变张量表示

12.2 GL（M，C）群的逆变和混合张量表示

12.3 GL（M，C）群不可约表示的维数

12.4 SU（M）群的张量表示

12.5 SU（M）群不可约表示内直积的分解

习题十二

第十三章 李代数的结构

13.1 李代数的定义和一些名称

13.2 度规张量和Casimir算子

13.3 半单李代数的标准形式

13.4 根系的性质

13.5 秩j≤2根向量的图形表示

13.6 单根系

13.7 单李代数的结构和Dynkin图

习题十三

第十四章 李代数的表示

14.1 权与权空间

14.2 半单李代数的表示

14.3 不可约表示的维数

14.4 李代数的不可约表示和举例

习题十四

第十五章 群论与物理体系的对称性

15.1 薛定谔方程与对称算子

15.2 本征函数和群表示的基

15.3 微扰对简并的影响

15.4 时间反演对称和附加简并

15.5 量子力学中的守恒量和守恒流

15.6 全同粒子交换对称性、辫子群和任意统计

15.7 宏观物理体系中物理张量的分类

15.8 宏观物理性质张量的时空和热力学内部对称性

15.9 晶体对称性对物理张量的影响

15.10 物理性质张量的约化和独立分量数

习题十五

第十六章 分子中电子态

16.1 原子轨道波函数的空间分布和变换性质

16.2 分子轨道波函数和LCAO近似

16.3 成键和反键态以及口键和丌键

16.4 CnHn分子的分子轨道理论

16.5 分子组态和分子波函数

16.6 ABn型分子的杂化轨道

16.7 杂化波函数

16.8 ABn型分子的分子轨道理论

习题十六

第十七章 原子和离子电子态在环境场下的对称破缺

17.1 哈密顿、对称破缺和群链

17.2 自由原子或离子的多电子组态

17.3 原子谱项在环境场情况下的分裂

17.4 有效晶体场

17.5 d1系的能级在环境场下的分裂

17.6 d2系的能级在环境场下的分裂

习题十七

第十八章 分子振动的对称模式

18.1 运动方程

18.2 正则振动的对称分类和对称化坐标

18.3 正则振动对称分解和对称坐标计算的实例

18.4 力常数矩阵和对称性

18.5 力常数矩阵计算的例子

18.6 振动状态的对称性及分子光谱选择规则

18.7 Jahn-Teller效应

习题十八

第十九章 第二类相变的对称理论和晶体结构对称破缺

19.1 朗道相变理论：一维模型

19.2 非均匀相变和相动力学演化的朗道理论推广

19.3 朗道结构相变的对称理论

19.4 朗道理论中一些群论的计算公式

19.5 Molien函数

19.6 O3h-pm3nγ点的不可约表示的不变量

19.7 O3h群的子群及子群判据

19.8 对称破缺方向的确定

习题十九

第二十章 晶体中的电子态

20.1 晶体中电子运动的哈密顿和独立粒子近似

20.2 固体能带

20.3 平面波展开方法

20.4 紧束缚近似

20.5 k·p微扰方法

20.6 具有自旋轨道耦合的半导体能带和组态混合

20.7 具有自旋-轨道耦合的n型半导体带底附近的哈密顿矩阵

20.8 p型半导体价带顶附近的哈密顿矩阵和Luttinger模型哈密顿

习题二十

第二十一章 晶格振动

21.1 力常数、动力学矩阵的对称性和正则振动

21.2 对称化基及久期方程的约化

21.3 时间反演对称性

21.4 金刚石正则振动对称分解和对称化基

21.5 金刚石结构力常数矩阵的约化

21.6 金刚石结构的动力学矩阵--γ点和σ线

21.7 晶格谐振动在长波长区的声学模传播和

它的速度表述

习题二十一

附录一 矩阵的直和、直积和超矩阵

附录二 基和坐标的线性变换

附录三 张量

附录四 点群特征标表

附录五 Oh类中48个点操作αj（j=1，2，…，48）

附录六 Ohh中元素αj（j=1，2，…24）的乘法表

附录七 D6h类中24个点操作αj（j=1，2…24）

附录八 D6h类中元素αj（j=1，2，…24）的乘法表

附录九 各种型式晶格的基矢

附录十 230格空间群底结构（摘自Kovalev表）

附录十一 磁点群的共表示结构

附录十二 本书一些符号的说明

各章主要参考资料

参考文献

《物理学中的群论》是《物理学研究生教学丛书》中的一本。书中对有限群、李群和李代数的基本理论作了导论性的介绍。第一至第十四章对物理学中常遇到的一些群的结构和表示作了比较详细的描述，其中包括点群、空间群、磁点群、磁空间群、置换群、SU（2）群、R（3）群、旋转双值群和双值点群以及洛伦兹群、SU（M）和CL（M）群等。第十五至第二十一章，重点介绍点群和空间群在分子和固体物理中的应用，包括群论在分子和固体中电子和振动态以及半导体中电子自旋-轨道的耦合、环境场的对称破缺、朗道相变理论等领域的应用。 《物理学中的群论》可作为物理专业的高年级学生和研究生的教材和教学参考用书，也可供从事凝聚态物理工作的读者参考。