线性代数疑难问题选讲

第一章 矩阵

问题1.1 矩阵乘法中的几个问题

(1)矩阵的乘法为什么要像教材中那样定义

(2)矩阵乘法还有其他定义形式吗

(3)如何理解双重求和符号的可交换性

(4)矩阵的乘法运算要注意哪些问题

问题1.2 计算一个矩阵的方幂有哪些常见方法

(1)用归纳法计算

(2)用递推公式计算

(3)将矩阵作拆分计算

(4)将矩阵相似对角化后作计算

(5)用Hamilton-Cayley定理简化计算

问题1.3 如何理解逆矩阵的概念

问题1.4 如何理解伴随矩阵的意义

问题1.5 矩阵的秩有何意义？它有哪些等价的描述

问题1.6 为什么要引入初等矩阵？它的主要作用是什么

问题1.7 如何理解矩阵等价中的三条基本性质？矩阵的等价标准形有

何意义

(1)矩阵等价中的三条基本性质

(2)矩阵等价标准形的意义

问题1.8 矩阵分块有何意义？分块要注意哪些问题

(1)降阶，使计算得到简化

(2)分割，使问题得到转化

问题1.9 如何将矩阵的初等变换与初等矩阵推广到分块矩阵

问题1.10 什么是矩阵的三角分解(LU分解)，有何应用

第二章 行列式

问题2.1 行列式的历史沿革

问题2.2 行列式有哪些不同的定义方式

(1)“逆序数法”定义

(2)“归纳法”定义

(3)“函数法”定义

问题2.3 行列式有何几何意义

(1)超平行多面体的有向面积或体积

(2)线性变换下图形面积或体积的伸缩因子

问题2.4 Cramer法则的多种证明与几何意义

(1)Cramer法则的多种证明

(2)Cramer法则的几何意义

问题2.5 行列式的计算有哪些常用方法

问题2.6 行列式的Laplace展开定理如何证明

问题2.7 分块行列式也有初等变换性质吗

第三章 向量空间与线性方程组

问题3.1 如何认识“n维向量空间”所研究的问题

(1)n维向量空间是3维几何空间的推广

(2)n维向量空间是线性空间的一个代表

(3)线性方程组与向量组、向量空间

问题3.2 如何引入线性表出与线性相关等概念

(1)线性表出概念的引入

(2)线性相关概念的引入

问题3.3 判定向量组线性相关性的常见方法

问题3.4 向量组的极大线性无关组有何意义与等价形式

(1)向量组的极大线性无关组的概念及其意义

(2)极大无关组的等价描述

问题3.5 何谓两个向量组各个向量之间有相同的线性关系

问题3.6 矩阵的等价与向量组的等价有何区别与联系

问题3.7 线性方程组中的几个问题

(1)如何理解Gauss消元法解线性方程组的正确性

(2)为什么要用向量来表示线性方程组的解

(3)非齐次线性方程组线性无关解向量的个数与通解

第四章 特征值与特征向量

问题4.1 如何理解矩阵特征值与特征向量的几何意义

……

第五章 二次型

第六章 应用实例

《线性代数疑难问题选讲》对工科类线性代数课程中一些疑难问题作了较为深入的讨论。其内容主要涉及四个方面：一是对教材中一些重要的概念、理论和方法作剖析，揭示包含其中的数学原理与思想，归纳总结一些重要的数学方法；二是对于一些容易混淆的概念辨明它们之间的区别与联系；三是对教材中一些常用而又没给出证明的定理补充证明，并对部分内容作了适当的延伸；四是收集整理了大量的应用实例供读者参考。
　　《线性代数疑难问题选讲》可作为线性代数课程的教学参考书，对教师的教学与学生的学习都有很好的启迪与帮助。