数学物理方程及其应用

第1章数学模型定解问题

1.1偏微分方程的一般概念

1.1.1基本概念

1.1.2线性算子

1.1.3叠加原理

1.2三类典型方程的建立

1.2.1弦振动方程

1.2.2热传导方程

1.2.3拉普拉斯（Laplace）方程

1.3定解条件与定解问题

1.3.1热传导方程的定解条件与定解问题

1.3.2波动方程的定解条件与定解问题

1.3.3拉普拉斯方程和泊松方程的定解条件和定解问题

习题1

第2章分离变量法

2.1有界弦的自由振动

2.2有界杆的热传导方程

2.3二维拉普拉斯方程的分离变量法

2.3.1长方形域的拉普拉斯方程

2.3.2圆形域的拉普拉斯方程

2.4非齐次方程的定解问题

2.4.1两端固定的弦的强迫振动定解问题

2.4.2有界杆有热源的热传导方程定解问题

2.4.3泊松方程的边值问题

2.5非齐次边界条件的齐次化

习题2

第3章特征值问题

3.1施图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）问题

3.2施图姆-刘维尔问题的几个重要性质

3.3二阶线性常微分方程的级数解法

3.3.1常点邻域的级数解法

3.3.2正则奇点邻域的级数解法

习题3

第4章贝塞尔函数

4.1贝塞尔方程的引出

4.2贝塞尔方程的求解

4.3贝塞尔函数的递推公式

4.4函数展成贝塞尔函数系的级数

4.4.1贝塞尔函数的零点

4.4.2贝塞尔函数系的正交性

4.4.3贝塞尔函数系的完备性

4.5贝塞尔函数的其他类型

4.5.1第三类贝塞尔函数

4.5.2虚宗量的贝塞尔函数

4.5.3开尔文函数

4.5.4贝塞尔函数的渐近公式

4.6贝塞尔函数应用举例

习题4

第5章勒让德多项式

5.1勒让德方程的引出

5.2勒让德方程的求解

5.3函数展成勒让德多项式系的级数

5.3.1勒让德多项式函数系的正交性

5.3.2函数展成勒让德多项式系的级数

5.4连带的勒让德多项式

习题5

第6章积分变换法

6.1傅里叶积分和傅里叶变换

6.2δ函数

6.2.1δ函数的引入

6.2.2δ函数的性质

6.2.3δ函数的傅氏变换

6.3拉普拉斯变换

6.4正交变换法

习题6

第7章达朗贝尔法

7.1二阶线性偏微分方程的分类

7.1.1两个自变量的二阶线性方程

7.1.2特征方程、特征线

7.1.3两个自变量的二阶线性方程的化简

7.1.4含多个自变量的二阶线性方程

7.2弦振动方程解的达朗贝尔公式

7.2.1达朗贝尔公式

7.2.2达朗贝尔公式的物理意义

7.2.3影响区域、依赖区间和决定区域

7.3三维波动方程的泊松公式

7.3.1球对称三维波动方程的解

7.3.2三维波动方程的泊松（Poisson）公式

7.3.3解的物理意义

7.4降维法

7.4.1二维波动方程的泊松公式

7.4.2泊松公式的物理意义

7.5强迫振动方程

习题7

第8章格林函数法

8.1拉普拉斯方程的基本解

8.1.1两类边值问题

8.1.2拉普拉斯方程的基本解

8.2格林公式和调和函数的性质

8.2.1格林（Green）公式

8.2.2调和函数的性质

8.3狄利克雷问题和诺伊曼问题解的唯一性与稳定性

8.4格林函数

8.4.1格林函数

8.4.2格林函数的性质

8.5几种特殊区域上的格林函数和狄利克雷问题的解

8.5.1球和半空间上的格林函数

8.5.2圆和半平面的格林函数

8.5.3用特征函数法求格林函数

习题8

第9章算子级数法

9.1柯西问题的解析解

9.2求解定解问题的算子级数法

9.3算子级数公式在微积分学中的应用

习题9

第10章数学物理方程在工程技术中的应用

10.1工程技术中的数学模型

10.1.1环上分支复杂管网系统的数学模型

10.1.2低渗透气藏非线性偏微分方程反问题的数学模型

10.1.3输气管道的一个泄漏点的检测问题

10.1.4一个半线性抛物型方程移动边界问题

10.2应用正交变换法求解裂缝性气藏水平井压力动态模型

10.2.1水平气井模型

10.2.2问题Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的求解

10.3不定常渗流问题的点源精确解及其应用

10.4孔隙中反应物浓度数学模型的求解

10.4.1模型的建立

10.4.2模型的求解

习题答案

参考文献

附录

　　本教材以解题方法为主线编排章节，在建立三类典型方程的各种定解问题的基础上，对各类定解问题的求解方法作了详细的介绍，各章具有有机的联系和相对的独立性。此外，本教材还具有两大特色，即提出了求解偏微分方程定解问题的新途径算子级数法和积分变换法。算子级数法使定解问题的求解过程简化，使初学者较容易地掌握各类定解问题的求解方法和技巧，并将算子级数公式应用于含参变量无穷限积分、球面积分等的计算。而积分变换法在工程技术中具有广泛的应用。编者们针对所需解决问题的特点与特性，提出了行之有效的正交变换法。　　本书主要内容包括：数学模型定解问题，分离变量法，特征值问题，贝塞尔函数，勒让德多项式，积分变换法，波动方程的达朗贝尔法，格林函数法，算子级数法和数学物理方程在工程技术中的应用。全书以解题方法为主线编排章节，在建立三类典型方程的各种定解问题的基础上，对各类定解问题的求解方法作了详细系统的介绍，各章具有一定的独立性。本书所讲述的算子级数法是作者在教学实践中的探索，该法使定解问题的求解过程简化，具有解题的技巧性和灵活性。　　本书可作为工科院校有关专业研究生的教材，选学本书的某些章节也可作为高年级本科生教材。本书也可供工程技术人员阅读参考。【作者简介】　　1949年12月生，四川省南充人。西南石油大学数学教授，硕士导师。2006年享受政府特殊津贴专家。从事偏微分方程理论及应用研究。近年来获教育部科技进步一等奖两项、四川省科技进步一等奖一项。中国石油天然气集团公司教学成果一等奖一项，新疆维吾尔自治区人民政府三等奖一项，院局级科技进步一等奖多项。在美国《PSEH》、《ATA》、《石油学报》等发表学术论文五十多篇，多篇被美国EI、PA．CA等收录报道。