反常统计动力学导论

前言

第1章 随机变量和概率分布

1.1 统计动力学的任务

1.2 一般定义

1.3 无规行走、正常扩散

1.4 平均

1.5 中心极限定理

1.5.1 正常中心极限定理

1.5.2 宽分布的中心极限定理

1.5.3 中心极限定理的物理价值

1.6 马尔可夫过程

1.6.1 稳定马尔可夫过程的定义

1.6.2 Ornstein—Uhlenbeck过程

1.6.3 几点注意

1.7 宏观过程不可逆性的统计基础

1.7.1 马尔可夫层级关系

1.7.2 概率假设的时间之箭

习题

第2章 演化方程

2.1 从微观动力学到宏观分布函数

2.1.1 微观动力系统

2.1.2 海森伯绘景和薛定谔绘景

2.2 Chapman—Kolmogorov方程

2.2.1 Chapman—Kolmogorov方程的推导

2.2.2 两个简单的马尔可夫过程

2.3 微分Chapman—Kolmogorov方程

2.4 确定性过程和刘维尔方程

2.5 跳跃过程和主方程

2.6 扩散过程和福克尔—普朗克方程

2.7 刘维尔主方程

2.8 一些具体的马尔可夫过程

习题

第3章 反常扩散现象

3.1 宽分布导致超扩散

3.1.1 莱维飞行和物理应用

3.1.2 洛伦兹气体中几何诱发反常扩散

3.1.3 聚合物吸附和自消除莱维飞行

3.2 长等待时间诱发欠扩散

3.2.1 晶格上的无规行走

3.2.2 梳状结构中的扩散

3.2.3 间歇动力系统中的反常扩散

3.2.4 反常扩散实验

3.3 长程关联

3.3.1 关联的实用性

3.3.2 极限分布的形状

3.3.3 几何关联和反常扩散

3.3.4 扩散行为

3.4 俘获、位垒和无规力

3.4.1 模型

3.4.2 电子和力学问题的等价性

3.4.3 随机场伊辛模型的应用

3.5 分数阶布朗运动

第4章 非各态历经随机运动

4.1 涨落耗散定理与扩散系数

4.2 各态历经判据

4.2.1 Brinkhoff判据

4.2.2 Khinchin判据

4.2.3 Lee判据

4.2.4 内在判据和外在表现

4.3 牛顿和朗之万之间的动力学

4.4 弹道扩散

4.5 局域化

4.5.1 阻尼陷阱

4.5.2 气体分子与固体表面相互作用

4.6 外场下的两类非各态历经运动

4.6.1 简谐速度噪声

4.6.2 渐进态依赖于初始速度准备

4.6.3 渐进态依赖于初始坐标准备

4.7 系统加热库模型的推广

4.7.1 独立振子模型

4.7.2 FKM模型

4.7.3 Rubin模型

习题

第5章 含非欧姆摩擦的广义朗之万方程

5.1 二次动力学和老化问题

5.1.1 拉普拉斯变换方法

5.1.2 非欧姆朗之万模型中的噪声和摩擦

5.1.3 粒子速度：一次时间特性

5.1.4 速度关联函数

5.1.5 粒子位移的老化

5.1.6 等时关联函数和时间有关的扩散系数

5.2 涨落与耗散之比

5.3 倾斜周期势中的反常输运

5.3.1 动力学模型

5.3.2 欧姆阻尼情形下的波包劈裂

5.3.3 欠欧姆阻尼情形下的准周期振荡现象

5.3.4 超欧姆阻尼情形下的态转换

5.4 应用举例

5.4.1 反常热传导

5.4.2 位垒通过问题

5.4.3 棘轮整流反常扩散

习题

第6章 连续时间无规行走

6.1 醉汉格子行走

6.2 经典无规行走

6.3 时空非马尔可夫性

6.3.1 广义主方程

6.3.2 分布密度函数

6.3.3 非马尔可夫扩散方程

6.4 分数阶扩散方程

6.5 关联连续时间无规行走

6.5.1 耦合朗之万方程

6.5.2 标度分析

第7章 分数阶微积分

7.1 Grünwald—Letnikov分数阶导数

7.1.1 整数阶导数和积分的统一

7.1.2 任意分数阶积分

7.1.3 任意分数阶导数

7.1.4 黎曼—刘维尔分数阶导数

7.2 分数阶导数的性质

7.3 举例

7.3.1 从整数阶导数到分数阶导数

7.3.2 半阶导数和积分

7.4 分数阶导数的拉普拉斯和傅里叶变换

7.4.1 拉普拉斯变换

7.4.2 傅里叶变换

7.5 分数阶常微分和偏微分方程的解析解

7.5.1 线性分数阶常微分方程

7.5.2 线性分数阶偏微分方程

7.6 分数阶微积分的应用

7.6.1 分数阶力学

7.6.2 分数阶微积分的物理解释

7.6.3 分数阶微积分的实现

习题

第8章 分数阶朗之万方程

8.1 分数阶振子和分数阶速度

8.1.1 分数阶振子动力学

8.1.2 总能量和相平面表示

8.2 分数阶朗之万方程的建立

8.2.1 一般解

8.2.2 α=1／2和α=3／4的例子

8.3 过阻尼和欠阻尼的定义

8.4 对一个外部信号的响应

8.5 金融市场的分数阶朗之万记忆模型

8.5.1 利润

8.5.2 分数阶无规行走

8.5.3 分数阶随机方程

8.6 分数阶统计

8.6.1 分数阶朗之万方程的各种解

8.6.2 市场活动作为一个不规则过程

8.7 分数阶资产动力学

8.7.1 分数阶随机动力学模型

8.7.2 价格增量涨落分布

8.7.3 与现实数据的比较

习题

……

第9章 分数阶福克尔—普朗克方程

第10章 莱维飞行

第11章 非广延统计力学

第12章 数值算法

附录A Mittag—Leffler函数

附录B Fox H函数

附录C 莱维分布的一些注释和基于Fox函数的精确表示

附录D α稳定随机变量的注记

参考文献

索引

《现代物理基础丛书》已出版书目

《现代物理基础丛书:反常统计动力学导论》系统深入地介绍了反常扩散和输运过程的机制、模型及数值模拟方法，《现代物理基础丛书:反常统计动力学导论》共12章。其内容包括随机变量和概率分布、演化方程、反常扩散现象、非各态历经随机运动、含非欧姆摩擦的广义朗之万方程、连续时间无规行走、分数阶微积分、分数阶朗之万方程、分数阶福克尔-普朗克方程、莱维飞行、非广延统计力学和数值算法。用非传统的模型与方法处理反常现象，例如，引入了分数阶微积分、连续时间无规行走等几个新技术，同时又能过渡到正常扩散；也关注一些新近实验感兴趣的课题，例如，小系统热力学、老化问题、反常热传导等。 《现代物理基础丛书:反常统计动力学导论》力求理论上来龙去脉清楚，基础与前沿兼顾，包含了作者的研究成果。以助从事随机动力学的科技人员扩大视野、创建模型，也可供高等学校物理、化学、核科学、生物、系统科学、应用数学等专业的本科生和研究生学习热力学与统计物理、非平衡态统计物理、随机过程、数学选讲参考之用。

《反常统计动力学导论》力求理论上来龙去脉清楚，基础与前沿兼顾，包含了作者的研究成果。以助从事随机动力学的科技人员扩大视野、创建模型，也可供高等学校物理、化学、核科学、生物、系统科学、应用数学等专业的本科生和研究生学习热力学与统计物理、非平衡态统计物理、随机过程、数学选讲参考之用。