微分方程数值解

第1章 引言

1.1 微分方程及其定解问题

1.1.1 一阶常微分方程及其初值问题

1.1.2 几类典型的偏微分方程及其定解条件

1.2 预备知识

1.2.1 基本记号与Green公式

1.2.2 泛函基础知识

1.2.3 Sobolev空间初步

1.3 微分方程的应用

1.4 微分方程数值解法概述

习题1

第2章 常微分方程初值问题的数值解

2.1 一阶常微分方程初值问题解的存在性与稳定性

2.2 Euler公式

2.2.1 Euler公式及其稳定性

2.2.2 Euler公式的误差估计及收敛性

2.3 Runge-Kutta公式

2.3.1 Taylor级数法

2.3.2 显式Runge-Kutta方法及其绝对稳定性

2.3.3 隐式Runge-Kutta方法及其绝对稳定性

2.4 线性多步法

2.5 一阶常微分方程组及高阶方程的数值解法

习题2

第3章 椭圆型方程边值问题

3.1 两点边值问题

3.1.1 极值原理

3.1.2 Green函数与两点边值问题解的存在性

3.1.3 变分方程与弱解

3.2 椭圆型偏微分方程边值问题

3.2.1 极值原理

3.2.2 椭圆型偏微分方程的变分形式

3.2.3 其他边值问题的处理

3.2.4：Poisson方程Neumann边值问题的弱解

习题3

第4章 椭圆型方程边值问题的差分法

4.1 两点边值问题的差分法

4.2 Poisson方程的差分法

4.2.1 Poisson方程Dirichlet问题的五点差分格式

4.2.2 其他边值条件的处理

4.2.3 一般区域的处理

习题4

第5章 椭圆型方程边值问题的有限元法

5.1 两点边值问题的有限元法

5.1.1 Galerkin方法与Ritz方法

5.1.2 两点边值问题的有限元法

5.1.3 两点边值问题的线性有限元解的误差估计

5.1.4 边界条件的处理

5.2 二维Poisson方程的有限元法

5.2.1 三角剖分及有限元方程的建立

5.2.2 面积坐标及刚度矩阵和荷载向量的计算

5.2.3 有限元解的误差估计

5.2.4 其他情形的处理

习题5

第6章 抛物型方程的有限差分法

6.1 一维常系数抛物型方程

6.1.1 最简差分格式

6.1.2 初边值条件的处理

6.1.3 数值例子

6.2 变系数抛物型方程

6.2.1 Taylor级数展开法

6.2.2 有限体积法

6.3 差分格式的稳定性与收敛性

6.3.1 相容性、稳定性及收敛性概念

6.3.2 稳定性与收敛性的关系

6.3.3 判别稳定性的直接方法

6.4 稳定性分析的Fourier方法

6.5 多维抛物型方程

6.5.1 二维抛物型方程的差分格式

6.5.2 交替方向隐式格式

6.5.3 局部一维格式

习题6

第7章 双曲型方程的有限差分法

7.1 双曲型方程

7.1.1 双曲型方程组及其特征

7.1.2 依存域、决定域与影响域

7.2 一阶线性双曲型方程的差分格式

7.2.1 常用差分格式

7.2.2 初边值条件的处理

7.3 一阶线性双曲型方程组的差分格式

7.4 二阶线性双曲型方程的差分格式

7.4.1 波动方程的差分格式

7.4.2 初边值条件的处理

习题7

第8章 数值线性代数

8.1 直接法

8.1.1 基于矩阵的三角分解的直接法

8.1.2 Fourier变换及快速算法

8.2 几种基本迭代法

8.2.1 几种经典的迭代格式

8.2.2 模型问题的谱分析

8.2.3 共轭梯度法

习题8

第9章 多重网格法和区域分解法简介

9.1 多重网格法

9.1.1 迭代法的磨光性质

9.1.2 两重网格法

9.1.3 V循环多重网格法

9.1.4 二维问题的多重网格法

9.2 区域分解法简介

9.2.1 Schwarz交替法

9.2.2 加性Schwarz算法

习题9

参考文献

曾金平、杨余飞等编著的这本《微分方程数值解》共分九章，主要介绍微分方程数值解问题，内容包括一阶常微分方程初值问题的欧拉折线法、线性多步法、龙格-库塔、椭圆型微分方程边值问题的差分法和有限元法、抛物型和双曲型偏微分方程初边值问题的差分法等，并简要介绍了该领域的最新发展成果，如多重网格法和区域分解法等。 曾金平、杨余飞等编著的这本《微分方程数值解》是大学信息与计算科学本科专业的专业基础课教材。主要介绍微分方程数值解问题，内容包括一阶常微分方程初值问题的Euler折线法、线性多步法、Runge-Kutta法、椭圆型微分方程边值问题的差分法和有限元法、抛物型和双曲型偏微分方程初边值问题的差分法等，并简要介绍了该领域的最新发展成果，如多重网格法和区域分解法等。本书简述了偏微分方程及泛函分析中有关的预备知识和数值代数中的部分内容，便于阅读。各章精选的部分与章节内容相匹配的习题，可加强学生的理论分析和数值模拟实验的能力。 《微分方程数值解》可作为理工科相应专业的教材或参考书，对于从事科学与工程计算的工程人员或计算工作者也有一定的参考价值。