偏微分方程

第一章 绪论

1 常用符号

2 基本概念

3 一些例子

4 纵览

第二章 一阶方程

1 一个简单线性方程

1.1 解析求解：特征线方法

1.2 近似求解：有限差分方法

2 一类简单拟线性方程

2.1 Burgers方程

2.2 一般情形

2.3 导数的突变和破裂时间

3 拟线性方程的几何理论

4 拟线性方程的Cauchy问题

4.1 Cauchy问题

4.2 局部解的存在性

4.3 解的存在唯一性条件

4.4 一种特殊情况：线性偏微分方程

4.5 高维情形

4.6 例子

5 一阶偏微分方程组

5.1 一阶线性偏微分方程组

5.2 一阶拟线性偏微分方程组

6 总结与思考

第三章 具有两个自变量的二阶偏微分方程

1 拟线性二阶方程的特征

2 奇性的传播

3 二阶线性方程的标准形

4 一维波动方程

5 总结与思考

第四章 波动方程

1 一维波动方程：方程的导出及定解条件

1.1 方程的导出

2.1 定解条件

2 一维波动方程：Cauchy问题

2.1 叠加原理

2.2 齐次化原理

3 一维波动方程：初边值问题

3.1 分离变量法

3.2 非齐次方程

3.3 非齐次边界条件

4 高维波动方程的Cauchy问题

4.1 高维空间中的波动方程

4.2 定解条件

4.3 球平均法

4.4 Hadamard降维法

4.5 非齐次波动方程Cauchy问题的解

5 波的传播

5.1 基本概念

5.2 波的传播：Huygens原理与波的弥散现象

5.3 解的衰减

5.4 解的正则性

6 一般的Cauchy问题与初边值问题

6.1 一般的Cauchy问题

6.2 初边值问题

7 能量不等式

7.1 动能和位能

7.2 初边值问题解的唯一性与稳定性

7.3 Cauchy问题解的唯～性与稳定性

8 总结与思考

第五章 热传导方程

1 热传导方程的导出及其定解条件

1.1 方程的导出

1.2 定解条件

2 Cauchy问题

2.1 Fourier变换

2.2 Cauchy问题的求解——Fourier变换法

2.3 解的存在性

3 初边值问题

4 极值原理

4.1 极值原理

4.2 初边值问题

4.3 Cauchy问题

5 Li-Yau估计与Harnack不等式

6 渐近性态

6.1 初边值问题

6.2 Cauchy问题

7 总结与思考

第六章 Laplace方程

1 方程的导出及定解条件的提法

1.1 方程的导出

1.2 定解条件

2 变分法

2.1 变分问题与Euler-Lagrange方程

2.2 变分原理

2.3 变分问题与定解问题的求解

3 调和函数

3.1 Green公式

3.2 基本积分公式

3.3 基本性质

3.4 极值原理

3.5 Laplace方程的第一边值问题解的唯一性和稳定性

4 Green函数

4.1 引进Green函数的动机及其基本性质

4.2 镜像法

4.3 解的验证

5 调和函数（续）

6 强极值原理

6.1 强极值原理

6.2 应用：Laplace方程第二边值问题解的唯一性

7 总结与思考

第七章 拟线性双曲守恒律方程组初步

1 拟线性双曲守恒律方程组

1.1 基本概念

1.2 例子

1.3 解的破裂

2 间断解

2.1 解的定义

2.2 Rankine-Hugoniot条件

2.3 熵条件

2.4 Riemann问题

3 非线性波：经典解情形

3.1 疏散波与压缩波

3.2 应用实例——追赶问题

4 非线性波：间断解情形

4.1 单个守恒律

4.2 激波的形成与传播

4.3 Riemann问题（续）

5 总结与思考

第八章 Cauchy-Kovalevskaya定理

1 准备知识

1.1 多重无穷级数

1.2 实解析函数

1.3 实解析函数（续）

2 Cauchy-Kovalevskaya定理

2.1 Cauchy-Kovalevskaya定理

2.2 Cauchy-Kovalevskaya定理的证明

3 一些注记

附录一 Fourier反演公式

附录二 Li-Yau估计

参考文献

《偏微分方程》共分八章：第一章为绪论；第二、三章分别介绍了一阶方程、具有两个自变量的二阶方程的基本知识；第四、五、六章分别介绍了三类基本方程：波动方程、热传导方程和Laplace方程的定解问题的适定性、求解方法及解的性质；第七章主要介绍了一阶拟线性双曲守恒律方程组的一些基本知识；第八章介绍了Cauehy-Kovalevskaya定理。另有两个附录：Fourier反演公式；Li-Yau估计。《偏微分方程》不仅把注意力集中在传统的偏微分方程基础知识上，而且还有目的地介绍一些当代数学知识，譬如在几何分析中具有重要作用的Li-Yau估计和Hamack不等式等。《偏微分方程》的另一特点是，除在每节后面为读者准备了一些习题之外，还在一些章节后面为读者准备了一些思考题和“开放问题（open problem）”。这些问题具有一定的启发性，对提高学生对本门课程的学习兴趣有很大帮助。
《偏微分方程》可作为高等院校数学系学生的教材，也可供数学、力学和物理学等相关专业的工作者参考。