《线性代数》导学备考宝典一书通

第一章行列式1复习导学11. 行列式的概念1【基本题型1】按定义计算行列式2【基本题型2】按对角线法则计算二、三阶行列式22. 行列式的性质2【基本题型3】按行列式的性质计算行列式23. 行列式按行(或列)展开定理3【基本题型4】有关余子式、代数余子式及其重要结论的题目4【基本题型5】按照性质和按行展开定理计算较低阶的行列式6基本题型6】确定用行列式表示的多项式f(x)中关于x的各次幂前的系数64. 常用的特殊行列式7【基本题型7】一般的n阶行列式的计算8第二章矩阵16复习导学161. 矩阵的概念162. 矩阵相等163. 矩阵运算164.矩阵运算的性质175.转置矩阵17【基本题型1】矩阵的基本运算176. 特殊矩阵及其性质 18【基本题型2】有关特殊矩阵的运算197.方阵19【基本题型3】有关方阵的性质19【基本题型4】矩阵运算规律与数运算规律的区别198. 伴随矩阵209. 逆矩阵20【基本题型5】利用伴随矩阵法求较低阶矩阵的逆20【基本题型6】判定或证明抽象矩阵可逆并求逆21【基本题型7】求抽象矩阵的逆22【基本题型8】有关伴随矩阵的命题2210.分块矩阵24【基本题型9】分块矩阵的计算24【基本题型10】分块矩阵的运用2611．初等变换2712．初等矩阵2813.初等矩阵的应用29【基本题型11】将矩阵写成初等矩阵乘积形式29【基本题型12】利用初等变换法求矩阵的逆3014. 矩阵的秩31【基本题型13】按定义求矩阵的秩3115.矩阵秩的基本结论31【基本题型14】利用秩的基本结论解题3116.用初等变化法求矩阵A的秩32【基本题型15】用初等变换法求矩阵的秩32第三章向量35复习导学351. n维向量的概念352. n维向量的线性运算 353. 向量加法和数量乘积运算满足以的运算性质354. 向量、向量组与矩阵35【基本题型1】向量的线性运算365.一个向量与一个向量组之间的线性表示36【基本题型2】利用构成矩阵的秩来判定一个向量能否由另一向量组线性表示376. 向量组线性相关与线性无关38【基本题型3】有关抽象向量组的线性相关性的证明38【基本题型4】有关分量具体的向量组的线性相关性的判定387. 线性相关性的重要性质及定理39【基本题型5】有关线性相关性的概念和重要定理的题目398．两个向量组的线性表示及其等价429. 两个向量组线性相关性的性质定理42【基本题型6】有关两个向量组之间的线性表示及其相关性的判定4210. 向量组的极大无关组4311. 向量组的秩4412. 两个向量组秩之间的关系4413. 向量组的秩和矩阵的秩的关4414. 用初等变换法求向量组的秩和极大无关组44【基本题型7】求一个向量组的极大无关组并表示其余向量44【基本题型8】有关等价的向量组的证明45【基本题型9】求向量组的秩46【基本题型10】有关抽象向量组或矩阵秩的不等式的证明46【基本题型11】关于抽象向量组和矩阵秩的等式的证明4715. 向量的内积、长度、夹角5016.Schmidt正交化、单位化5017.正交矩阵5118. 向量空间的定义、基与维数51【基本题型12】求解空间的一组标准正交基51【基本题型13】有关量空间的维数5219. 向量在基下的坐标52【基本题型14】求向量在基下的坐标5220. 两个向量组之间的过渡矩阵53【基本题型15】求两组基之间的过渡矩阵53第四章线性方程组55复习导学551. m个方程n个未知量的线性方程组的一般形式552. 齐次线性方程组的基础解系55【基本题型1】有关基础解系的概念553. 线性方程组解的性质和结构56【基本题型2】有关方程组解的性质和结构564. 线性方程组解的判定59【基本题型3】有关解的判定定理595.线性方程组求解的初等变换法61【基本题型4】求(非)齐次方程组的基础解系和通解616.线性方程组求解的克莱姆法则62【基本题型5】按照克莱姆法则求方程组的解637. 线性方程组的求解和讨论65【基本题型6】含参数方程组解的讨论65【基本题型7】求齐次线性方程组的基础解系、通解67【基本题型8】求非齐次方程组的通解68【基本题型9】已知齐次方程组的解，反求系数矩阵69第五章特征值与相似对角化71复习导学711特征值和特征向量的定义71【基本题型1】有关特征值和特征向量定义的题目712特征值和特征向量的计算步骤71【基本题型2】求具体矩阵的特征值和特征向量723特征值和特征向量的性质72【基本题型3】有关特征值和特征向量性质的题目73【基本题型4】求抽象矩阵的特征值和特征向量744相似矩阵的概念765相似矩阵的性质76【基本题型5】有关相似矩阵性质的题目766矩阵可以对角化的条件77【基本题型6】有关两方阵相似的判定787矩阵对角化的方法78【基本题型7】有关矩阵可对角化的判定79【基本题型8】已知矩阵的特征值和特征向量，反求矩阵818n阶实对称矩阵A的主要结论82【基本题型9】有关实对称矩阵的性质82【基本题型10】求正交矩阵Q，将实对称矩阵化为对角阵84【基本题型11】有关特征值、特征向量的性质及其应用86第六章二次型89复习导学891二次型的概念89【基本题型1】写出二次型的矩阵89【基本题型2】已知二次型的秩，反求其参数902线性变换913矩阵的合同91【基本题型3】判断两个矩阵是否合同914二次型的标准形92【基本题型4】二次型的最大值问题925进一步的结论93【基本题型5】已知二次型线性变换前后的形式，反求其中的参数936化二次型为标准形的配方法93【基本题型6】用配方法化二次型化为标准形或规范形947化二次型为标准形的正交变换法95【基本题型7】求正交变换，将二次型化为标准形或规范形958正定二次型和正定矩阵98【基本题型8】判定二次型或矩阵的正定性98第七章行列式102考点归纳102考点解读102★ 命题趋势102★ 难点剖析1021n阶行列式的计算1022 抽象型行列式的计算1043 证明行列式|A|=0的方法1044 分块矩阵的行列式104点击考点＋方法归纳104有关行列式计算的题目104【考点1】元素具体的含文字的低阶行列式的计算104【考点2】含在矩阵方程中的方阵的行列式的计算106【考点3】抽象矩阵的行列式求值107【考点4】高阶行列式的计算111有关行列式的证明题112【考点5】抽象行列式等于零或不等于零的判定或证明112【考点6】分块矩阵的行列式114第八 章矩阵116考点归纳116考点解读116★ 命趋势116★ 难点剖析1161 两个矩阵可乘的条件1162 矩阵乘法不满足交换律和消去律1163 解矩阵方程1164 与初等变换有关的命题1175 与伴随矩阵有关的命题1176 矩阵秩的计算与证明1177分块矩阵的运算118点击考点＋方法归纳119有关逆矩阵的题目119【考点1】隐含矩阵可逆，求逆矩阵119【考点2】判定或证明矩阵可逆120有关矩阵的乘法运算122【考点3】可交换矩阵的运算122【考点4】求方阵的幂An122【考点5】解矩阵方程125有关矩阵的初等变换和初等矩阵的命题129【考点6】求初等变换中的变换矩阵129【考点7】求由初等变换得到的矩阵的有关性质130与伴随矩阵、转置矩阵等有关的命题131【考点8】利用伴随矩阵万能公式求其逆、行列式等131有关矩阵的秩135【考点9】求元素具体但含参数的矩阵的秩或其反问题135【考点10】求抽象矩阵的秩136【考点11】矩阵秩的证明138【考点12】有关秩为1的矩阵140第九章向量142考点归纳142考点解读142★命题趋势142★难点剖析1421 关于向量组的线性相关有如下等价命题1422 关于向量组的线性无关有如下等价命题1423 与向量组个数和维数有关的线性相关性结论1434 关于线性表示的有关结论1435 关于向量组的秩的有关结论1436 关于向量组的基或其他143点击考点 方法归纳144有关向量组的计算题型144【考点1】 已知向量组间的线性表示关系，确定其中的参数144【考点2】已知向量组的线性相关性，确定其中的参数，并求一个极大无关组149【考点3】求向量在基下的坐标151【考点4】求两组基之间的过渡矩阵151【考点5】求解空间的一组标准正交基152有关向量组的证明题型153【考点6】判定或证明抽象向量组的线性表示153【考点7】抽象的向量组的线性相关性的证明154【考点8】抽象的向量组的秩的证明156有关向量的客观题型156【考点9】有关向量组的线性相关性的判定156【考点10】与矩阵有关的向量组的相关性的判定159【考点11】与线性表示有关的线性相关性的判定161【考点12】已知数字向量组线性相关，确定其中的参数163第十章线性方程组165考点归纳165考点解读165★命题趋势165★难点剖析1651 n元线性方程组的三种等价的表达形式1652 线性方程组解的性质1663 m个方程n个未知量的齐线性方程组解的判定1664 m个方程n个未知量的非齐线性方程组解的判定1665 对含参数的线性方程组，一般有以下两种题型1666 对抽象方程组的求解1667 寻找或证明向量组是某方程组的基础解系的３个关键点1678 两个线性方程组解（都是齐次方程组或都是非齐次方程组）之间的关系1679 求方程组(Ⅰ)Am×tX=α和方程组(Ⅱ)Bt×nX=β的公共解的一般方法167点击考点 方法归纳167有关抽象方程组的求解167【考点1】抽象方程组的求解167有关含参数的方程组的讨论或求解172【考点2】讨论齐次方程组中的参数，使得方程组只有零解或非零解，并在有非零解时求其通解.172【考点3】讨论非齐次方程组中的参数，使得方程组无解或有解，并在有解时求其通解178【考点4】已知方程组的解的情况，反求其中的参数并求解181有关两个方程组解之间的关系184【考点5】有关两方程组 (Ⅰ)Am×tX=α和 (Ⅱ)Bt×nX=β的公共解问题184【考点6】已知两方程组同解，反求其中的参数186【考点7】判断两个抽象的矩阵方程解之间的关系188有关基础解系的命题189【考点8】已知一组向量已是基础解系，证明或判断其线性组合构成的另一组向量也是基础解系189【考点9】已知非齐次方程组解的情况，寻求对应齐次方程组的基础解系191有关AB＝0的命题192【考点10】已知AB=0，确定A或B中的参数192【考点11】已知AB=0，确定矩阵A或B的秩193【考点12】已知AB=0，确定A或B的行列式值是否为零194【考点13已知AB=0，确定A或B的行向量组或列向量组的相关性195第十一章特征值与矩阵的相似对角化197考点归纳197考点解读197★命题趋势197★难点剖析1971求矩阵A的特征值和特征向量的一般方法1972有关的重要结论1973求与A相关矩阵的特征值和特征向量1984两矩阵相似的必要条件1985证明或判断矩阵相似及其逆问题1986可对角化的判定及其逆问题1987实对称矩阵的主要性质199点击考点＋方法归纳199有关特征值和特征向量的计算199【考点1】求具体矩阵的特征值和特征向量199【考点2】求抽象矩阵的特征值203【考点3】求抽象矩阵的特征向量204与特征值、特征向量有关的逆的问题204【考点4】已知矩阵的特征值、特征向量，反求其中的参数204【考点5】已知矩阵的特征值、特征向量，反求矩阵206有关两矩阵的相似问题207【考点6】两具体的矩阵相似，确定其中的参数207【考点7】已知抽象矩阵和一个向量组之间的关系，求其相似对角矩阵等208有关矩阵的对角化的题目211【考点8】确定参数的值，使得有关矩阵可对角化，求相应的可逆矩阵和对角矩阵211【考点9】确定参数的值后，讨论矩阵是否可对角化213有关实对称矩阵的题目215【考点10】已知实对称矩阵的全部特征值和部分特征向量，反求矩阵A215【考点11】求正交矩阵，化实对称矩阵A为对角矩阵217【考点12】特征值、特征向量的性质及其应用223【考点13】有关两矩阵相似的必要条件225有关特征值、特征向量和相似矩阵的证明226【考点14】两相关矩阵的特征值与特征向量间的关系226【考点15】两相关矩阵的特征值与特征向量间的关系226第十二章二次型228考点归纳228考点解读228★命题趋势228★难点剖析2281化二次型为标准形的定理2282求二次型的标准形的方法2283. 关于二次型的唯一性2284关于二次型的惯性指数和秩2295二次型的规范形2296合同变换与合同矩阵2297合同矩阵与相似矩阵2298正定二次型及其对应矩阵的正定性229点击考点＋方法归纳230有关二次型的标准化问题230【考点1】先确定二次型中的参数，再求正交变换或正交变换矩阵，最后将含参数的二次型化为标准形230【考点2】求正交变换矩阵233有关二次型对应矩阵的命题237【考点3】求含参数的二次型所对应矩阵的特征值237【考点4】求抽象的二次型所对应的矩阵239有关二次型或矩阵的正定241【考点5】判别或证明二次型的正定241【考点6】证明矩阵的正定242【考点7】有关正定的综合题244合同变换与合同矩阵245【考点8】合同变换与合同矩阵245第十三章线性代数与几何的关系247考点归纳247考点解读247★命题趋势247★难点剖析2471线面间的位置关系和方程组的转化2472常见的二次曲面的标准方程及其图形2483常见的二次曲面的秩248点击考点＋方法归纳248【考点1】直线或平面间的位置关系与向量组的相关性或矩阵的秩的相互转化248【考点2】二次型的标准形表示何种曲面253【考点3】利用二次曲面的图形确定二次型的秩、正负特征值个数或正负惯性指数255线性代数复习点睛2572011年研究生入学考试真题258三套自我检查题及答案258参考文献266