信息与计算科学实验教程

第1章 非线性方程求解

1.1 根的隔离

1.2 二分法

1.3 割线法

1.4 牛顿法

1.5 收敛速度

1.6 反二次插值与有理函数逼近

1.7 自适应求根算法

1.9 实验

第2章 线性代数方程组的求解

2.1 Gauss消去法与LU分解

2.2 列选主元Gauss消去法

2.2.1 全选主元高斯消去法

2.2.2 列选主元高斯消去法

2.2.3 按比例列选主元高斯消去法

2.3 带状稀疏方程组的处理

2.3.1 三对角矩阵的压缩

2.3.2 追赶法

2.4 矩阵条件数的估计

2.5 雅可比迭代、高斯一赛德尔迭代和松弛法

2.5.1 雅可比迭代法

2.5.2 高斯-赛德尔迭代法

2.5.3 迭代终止判断条件

2.5.4 松弛法

2.6 迭代改善法

2.7 实验

第3章 矩阵的特征值与特征向量

3.1 矩阵的特征值和奇异值

3.1.1 特征值与特征向量

3.1.2 矩阵的奇异值

3.2 特征多项式

3.3 幂法与反幂法

3.3.1 幂法

3.3.2 反幂法

3.3.3 带位移的幂法和反幂法

3.3.4 瑞利商迭代

3.3.5 收缩方法

3.4 QR迭代

3.4.1 基本原理

3.4.2 Householder变换

3.4.3 利用Householder变换实现矩阵的QR分解

3.4.4 上Hessenberg型

3.4.5 Givens变换

3.4.6 带位移的QR迭代

3.5 实验

第4章 插值和拟合

4.1 多项式插值

4.2 等距节点插值和误差传播

4.3 重节点差商与Hermite插值

4.4 多项式插值的Runge现象

4.5 分段多项式插值

4.6 样条插值

4.7 查找插值点

4.8 参数曲线插值

4.9 多元插值

4.10 曲线拟合的最小二乘法

4.10.1 多项式拟合

4.10.2 一般曲线拟合

4.11 实验

第5章 数值积分与数值微分

5.1 牛顿-科特斯公式

5.2 提高求积公式精度的方法

5.3 高斯求积公式

5.4 自适应求积公式

5.5 数值微分

5.5.1 插值型微分公式

5.5.2 误差分析

5.5.3 样条函数求导数

5.5.4 MATLAB中关于数值微分的函数

5.6 实验

第6章 常微分方程数值方法

6.1 欧拉法

6.1.1 欧拉法的构造

6.1.2 欧拉法的收敛性

6.2 数值解法的收敛性、稳定性

6.3 梯形法

6.4 线性多步法

6.5 龙格-库塔法

6.6 误差估计与步长控制

6.6.1 误差的估计

6.6.2 步长的调整

6.6.3 嵌入式龙格-库塔算法

6.7 高阶常微分方程和常微分方程组的求解

6.8 刚性问题的求解

6.9 MATLAB中的常微分方程自适应求解算法

6.9.1 误差控制

6.9.2 输出选项

6.9.3 事件检测功能

6.10 使用MATLAB求解刚性常微分方程组的实例

6.11 实验

第7章 快速傅里叶变换与JPEG编码

7.1 离散傅里叶变换

7.2 快速傅里叶变换

7.3 离散余弦变换

7.4 JPEG图像编码方案

7.4.1 MATLAB中的图像格式

7.4.2 图像的分块DCT

7.4.3 DCT系数的量化

7.4.4 霍夫曼编码

7.5 实验

参考文献

《数学实验系列教程：信息与计算科学实验教程》不是一本传统意义上的数值分析（或计算方法）课程的实验教材，没有按照定义、定理、算法、函数语法说明和实验题目这样的顺序组织内容。每章分为理论部分和实验部分。理论部分强调算法的来源、各种方法问的联系、每个算法优缺点的讨论以及算法的改进与完善，基本覆盖了目前国内本科计算方法课程中的内容。《数学实验系列教程：信息与计算科学实验教程》选择MATLAB作为数值算法的实现平台，在给出算法实现细节的同时介绍了MATLAB中与该算法相关的函数。这样的设计使得本书的难度具有层次性和一定的弹性。工科专业的学生可以理解算法的原理、掌握数值计算工具解决实际工程问题。信息与计算科学专业的学生则要求完成更有深度的算法设计问题。本书有相当多的延伸内容是以实验的形式出现的，以促使学生能够在解决实际问题过程中开拓眼界，学到新的知识。《数学实验系列教程：信息与计算科学实验教程》的实验内容铺排与一般计算方法课程教学展开同步，使教学双方能够在日常教学中同步融人实验。《数学实验系列教程：信息与计算科学实验教程》可作为信息与计算科学专业本科数值计算方法课程或其他有数值计算需求的工科专业的相关课程的配套实验教材或参考教材。

科学计算或数值分析是信息与计算科学专业的核心内容之一，主要解决在计算机上求得科学与工程计算问题的近似解问题，所涉及的主要问题包括函数求值、数值逼近、数值积分、方程求解、特征值问题和数值优化等。《数学实验系列教程：信息与计算科学实验教程》基本覆盖了目前国内本科计算方法课程中的内容，包括：非线性方程求根、线性方程组求解、矩阵特征值计算、插值与拟合、数值积分和数值微分、常微分方程数值方法以及快速傅里叶变换与JPEG编码。