证明与反驳

编者前言

致谢

作者引言

第1章

1.一个问题与一个猜想

2.一个证明

3.用局部而非全局的反例对证明的批评

4. 全局的反例对猜想的批评

(a)猜想之拒斥。让步法

(b)反例之拒斥。怪物排除法

(c)以例外排除法改进猜想。逐步排除。策略性撤退或稳扎稳打

(d)怪物校正法

(e)以引理并入法改进猜想。证明生成的定理VS. 素朴的猜想

5.全局而非局部的反例对证明分析的批评。严格性的问题

(a)守御定理的怪物排除

(b)隐藏引理

(c)一证多驳法

(d)证明VS.证明分析。定理概念与证明分析之严格性概念的相对化

6.再论局部而非全局的反例对证明的批评。内容问题

(a)以更深入的证明扩增内容

(b)向最终证明与相应的充分必要条件进军

(c)不同证明得出不同定理

7.重谈内容问题

(a)素朴猜想的素朴性

(b)作为多证多驳法之基础的归纳

(c)演绎的猜测VS.素朴的猜测

(d)以演绎猜测扩增内容

(e)逻辑的反例VS.探试的反例

8.概念的形成

(a)以概念拉伸来反驳。重估怪物排除——兼重估错误与反驳之概念

(b)证明引生的概念VS.素朴的概念。理论分类VS.素朴分类

(c)再论逻辑反驳与探试反驳

(d)理论的概念拉伸VS.素朴的概念拉伸。连续发展VS.批判发展

(e)内容增加的极限。理论反驳VS.素朴反驳

9.批评如何可把数学真理变为逻辑真理

(a)无限制的概念拉伸摧毁意义与真理

(b)温和的概念拉伸可将数学真理变为逻辑真理

第2章

编者引言

1. 把猜想翻译成矢量代数“完全被认可的”术语。翻译的问题

2. 猜想的另一个证明

3. 关于证明之终极性的一些疑问。翻译的程序以及实在 论者的定义方法VS.唯名论者的定义方法

附录1

多证多驳法中的另一个案例研究

1. 柯西为“连续性原理”所作的辩护

2. 赛德尔的证明以及证明生成的一致收敛概念

3. 阿贝尔的例外排除法

4. 有关证明分析法之发现的障碍

附录2

演绎主义方法VS.探试法

1. 演绎主义方法

2. 探试法。证明产生的概念

(a) 一致收敛

(b) 有界变分

(c) 可测集的卡拉西尔德瑞定义

参考书目

人名译名对照表

该书是匈牙利裔英国籍著名哲学家伊姆雷·拉卡托斯于20世纪60年代完成的一部探索数学史上新发现的产生过程的力作，主要阐述作者用5年时间收集的两个典型的数学案例，以及本书编者添加的拉卡托斯1961年在剑桥大学所撰博士论文的部分片段。

　　拉卡托斯是用对话体的形式进行写作的，他虚构了教师在课堂上与学生们讨论正多面体欧拉公式 V-E+F=2 的猜想与发现、证明和反驳的全过程，形象地展现了数学史上对此问题进行研究探索的真实的历史图景，以此来挑战和批判以希尔伯特为代表的认为数学等同于形式公理的抽象、把数学哲学与数学史割裂开来的形式主义数学史观。这篇光辉论著旨在解决数学方法论的基本问题，以一种探索和发现的情境逻辑来代替形式主义和逻辑实证主义的抽象教条。正如拉卡托斯所说，非形式、准经验的数学的发展，并不只靠逐步增加的毋庸置疑的定理的数目，而是靠以思辨与批评、证明与反驳之逻辑对最初猜想的持续不断的改进。

　　本书的写作形式也颇为新颖，作者以课堂讨论的对话形式来展现数学的发现，生动地体现了数学发展的辩证过程。

　　正因为此，该书还可以作为数学教学的案例，给广大数学教师提供了一种示范性的教学法。

　　特别要提请读者注意的是，该著作脚注的内容十分丰富，诸多数学史上的争论都体现在注释之中，所以脚注部分也应该看作是正文的有机组成部分，不可忽略。

　　作者在著作后面还列了一个非常完整的参考书目，对书中提到的问题和观点感兴趣的读者可以按图索骥，定会有更大的收获。

《西方数学文化理念传播译丛·证明与反驳：数学发现的逻辑》的写作形式也颇为新颖，作者以课堂讨论的对话形式来展现数学的发现，生动地体现了数学发展的辩证过程。正因为此，该书还可以作为数学教学的案例，给广大数学教师提供一种具有实践意义的教学法。

　　特别要提请读者注意的是，该著作脚注的内容十分丰富，诸多数学史上的争论都体现在注释之中，所以脚注部分也应该看作是正文的有机组成部分，不可忽略。……