近世代数观点下的高等代数

第1章 基础知识

1.1 集合与映射

1.2 等价关系与集合的分类

1.3 偏序与全序

1.4 基数

第2章 多项式与矩阵代数理论

2.1 一元多项式理论

2.2 多元多项式

2.3 行列式的计算

2.4 线性方程组理论

2.5 矩阵代数理论

第3章 向量空间与线性变换

3.1 向量空间

3.2 子空间的直和分解

3.3 向量空间的同构

3.4 线性变换

3.5 线性变换的对角化

3.6 向量空间的准素分解

第4章 欧氏空间与双线性函数

4.1 欧氏空间

4.2 正交变换和对称变换

4.3 酉空间

4.4 双线性函数

4.5 二次型与正定矩阵的应用

第5章 群论基础

5.1 群论基础

5.2 有限群的结构

5.3 可解群、幂零群与超可解群

5.4 有限生成Abel群的结构

第6章 环与域

6.1 环论基础

6.2 理想与商环

6.3 唯一分解环

6.4 唯一分解环上的一元多项式环

6.5 域的扩张

第7章 模理论

7.1 模的定义和基本性质

7.2 主理想整环上的自由模

7.3 主理想整环上的有限生成模

7.4 主理想整环上有限生成模的结构

7.5 有限生成模的自同态环

第8章 向量空间的分解和算子的若当标准型

8.1 带有线性算子的模

8.2 有理典范型

8.3 算子的本征值与本征向量

8.4 幂零算子的标准分解

8.5 算子的若当标准型

8.6 射影代数

第9章 赋范线性空间

9.1 线性泛函

9.2 内积空间

9.3 距离空间

9.4 傅立叶展开

9.5 基的正交化方法

第10章 正规算子的谱理论

10.1 正交可对角化性

10.2 正规算子

10.3 正交对角化

10.4 线性算子的正交分解

10.5 线性算子的谱理论

第ll章度量线性空间

11.1 双线性型的矩阵

11.2 二次型

11.3 正交几何的结构

11.4 有限域上的正交几何

11.5 维特消去定理

11.6 维特扩张定理

第12章 希尔伯特空间

12.1 距离空间上的收敛性

12.2 距离空间的稠密与连续

12.3 距离空间的完全化

12.4 希尔伯特空间

12.5 傅立叶级数

12.6 希尔伯特空间的特征

第13章 向量空间的张量积

13.1 自由向量空间

13.2 向量空间的张量积

13.3 线性变换的张量积

13.4 交错映射与外积

第14章 仿射几何与多项式函数

14.1 格代数基础

14.2 仿射几何

14.3 平坦格

14.4 仿射变换与射影几何

14.5 形式幂级数

14.6 几种重要的线性算子和多项式

参考文献

《近世代数观点下的高等代数》在近世代数思想指导下对高等代数的基本概念、基础理论、基本方法进行系统归纳与提升，同时把国内外有关高等代数研究的新成果引入《近世代数观点下的高等代数》。首先概括地介绍了高等代数的一些主要内容，包括多项式理论、矩阵理论、向量空间和线性变换、欧氏空间和二次型等基础理论。详细讨论了近世代数的一些主要内容，包括群、环、域、模等代数系统，又进一步讨论了主理想整环上的模理论，证明了有限生成模的循环分解定理。这一定理对于后面讨论的有限维线性算子的结构定理是至关重要的。最后对代数学的后续内容进行了讨论。把这些内容归纳为几个专题：线性算子的结构理论、谱理论、赋范线性空间、希尔伯特空间、双线性映射与张量积、仿射几何与多项式函数等。