微分几何讲义

第一章 比较定理与梯度估计

1.1 比较定理

1.2 分裂定理

1.3 梯度估计

1.4 具非负Ricci曲率的完备Riemann流形

第二章 负曲率流形上的调和函数

2.1 几何边界S（∞）及Dirichlet问题的可解性

2.2 Harnack不等式与Poisson核

2.3 Martin边界与Martin积分表示

2.4 Harhack不等式的证明

2.5 更一般流形上的调和函数

2.6 次调和函数与次中值公式

附录 整体Green函数的存在性

第三章 特征值问题

3.1 特征值的基本性质

3.2 Riemann流形的热核

3.3 第一特征值上界估计

3.4 第一特征值下界估计

3.5 高阶特征值的估计

3.6 结点集与特征值的重数

3.7 相邻两特征值之空隙

3.8 与曲面有关的特征值问题

第四章 Riemann流形上的热核

4.1 热方程的梯度估计

4.2 Harnack不等式与热核的估计

4.3 热核估计的应用

第五章 纯量曲率的共形形变

5.1 三维情形

5.2 Yamalbe问题与共形不变量A（M）

5.3 共形正规坐标与Green函数的渐近展开

5.4 Yamabe问题的解决

附录 Sobolev不等式中的最佳常数

第六章 局部共形平坦流形

6.1 共形变换与局部共形平坦流形

6.2 共形不变量

6.3 局部共形平坦流形在Sn上的嵌入

6.4 局部共形平坦流形的拓扑

6.5 与偏微分方程的关系

参考文献（第一至

第六章）

第七章 问题集

7.1 曲率及流形上的拓扑

7.2 曲率与复结构

7.3 子流形

7.4 谱

7.5 与测地线有关的问题

7.6 极小子流形

7.7 广义相对论和Yang-Milh方程

参考文献

第八章 几何中的非线性分析

8.1 特征值与调和函数

8.2 Yamabe方程及共形平坦流形

8.3 调和映照

8.4 极小子流形

8.5 Kahler几何

8.6 复流形上的典则度量

参考文献

第九章 几何中未解决的问题

9.1 度量几何

9.2 经典Euclid几何

9.3 偏微分方程

9.4 Kahler几何学

参考文献

附录I 几何学的未来发展

附录II 几何与分析回顾

附录III 复几何的历史及前景

索引

《微分几何讲义》，已成为整体微分几何方面的一本经典著作。它以拓扑、代数几何为基础，以分析为主要工具，论述了几何学中的某些线性和非线性问题。《微分几何讲义》内容包括：比较定理与梯度估计、负曲率流形上的调和函数、Reimann流形上的特征值问题、Reimann流形上的热核、纯量曲率的共形形变、局部共形平坦流形等。书中还包括了丘成桐教授撰写的几何中的非线性分析、几何中未解决的问题、几何学未来的发展、几何与分析回顾、复几何的历史及前景等综合性论述与演讲辞，宏观和精辟地描述了几何学中的重要问题，展示了该学科的历史和未来发展前景。《微分几何讲义》可供高等院校数学系高年级学生、研究生作教学用书，也可供现代几何和分析方面的教师及研究人员参考。

《微分几何讲义》以拓扑、代数几何为基础，以分析为主要工具，论述了几何学中的某些线性和非线性问题。内容包括：比较定理与梯度估计、负曲率流形上的调和函数、Reimann流形上的特征值问题、Reimann流形上的热核、纯量曲率的共形形变、局部共形平坦流形等。