数学分析

第一章 实数集与函数

1 实数

一 实数及其性质

二 绝对值与不等式

2 数集·确界原理

一 区间与邻域

二 有界集·确界原理

3 函数概念

一 函数的定义

二 函数的表示法

三 函数的四则运算

四 复合函数

五 反函数

六 初等函数

4 具有某些特性的函数

一 有界函数

二 单调函数

三 奇函数和偶函数

四 周期函数

第二章 数列极限

1 数列极限概念

2 收敛数列的性质

3 数列极限存在的条件

第三章 函数极限

1 函数极限概念

一 x趋于∞时函数的极限

二 x趋于x0时函数的极限

2 函数极限的性质

3 函数极限存在的条件

4 两个重要的极限

5 无穷小量与无穷大量

一 无穷小量

二 无穷小量阶的比较

三 无穷大量

四 曲线的渐近线

第四章 函数的连续性

1 连续性概念

一 函数在一点的连续性

二 间断点及其分类

三 区间上的连续函数

2 连续函数的性质

一 连续函数的局部性质

二 闭区间上连续函数的基本性质

三 反函数的连续性

四 一致连续性

3 初等函数的连续性

一 指数函数的连续性

二 初等函数的连续性

第五章 导数和微分

1 导数的概念

一 导数的定义

二 导函数

三 导数的几何意义

2 求导法则

一 导数的四则运算

二 反函数的导数

三 复合函数的导数

四 基本求导法则与公式

3 参变量函数的导数

4 高阶导数

5 微分

一 微分的概念

二 微分的运算法则

三 高阶微分

四 微分在近似计算中的应用

第六章 微分中值定理及其应用

1 拉格朗日定理和函数的单调性

一 罗尔定理与拉格朗日定理

二 单调函数

2 柯西中值定理和不定式极限

一 柯西中值定理

二 不定式极限

3 泰勒公式

一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式

二 带有拉格朗日型余项的泰勒公式

三 在近似计算上的应用

4 函数的极值与最大（小）值

一 极值判别

二 最大值与最小值

5 函数的凸性与拐点

6 函数图像的讨论

7 方程的近似解

第七章 实数的完备性

1 关于实数集完备性的基本定理

一 区间套定理

二 聚点定理与有限覆盖定理

三 实数完备性基本定理之间的等价性

2 上极限和下极限

第八章 不定积分

1 不定积分概念与基本积分公式

一 原函数与不定积分

二 基本积分表

2 换元积分法与分部积分法

一 换元积分法

二 分部积分法

3 有理函数和可化为有理函数的不定积分

一 有理函数的不定积分

二 三角函数有理式的不定积分

三 某些无理根式的不定积分

第九章 定积分

1 定积分概念

一 问题提出

二 定积分的定义

2 牛顿-莱布尼茨公式

3 可积条件

一 可积的必要条件

二 可积的充要条件

三 可积函数类

4 定积分的性质

一 定积分的基本性质

二 积分中值定理

5 微积分学基本定理·定积分计算（续）

一 变限积分与原函数的存在性

二 换元积分法与分部积分法

三 泰勒公式的积分型余项

6 可积性理论补叙

一 上和与下和的性质

二 可积的充要条件

第十章 定积分的应用

1 平面图形的面积

2 由平行截面面积求体积

3 平面曲线的弧长与曲率

一 平面曲线的弧长

二 曲率

4 旋转曲面的面积

一 微元法

二 旋转曲面的面积

5 定积分在物理中的某些应用

一 液体静压力

二 引力

三 功与平均功率

6 定积分的近似计算

一 梯形法

二 抛物线法

第十一章 反常积分

1 反常积分概念

一 问题提出

二 两类反常积分的定义

2 无穷积分的性质与收敛判别

一 无穷积分的性质

二 非负函数无穷积分的收敛判别法

三 一般无穷积分的收敛判别法

3 瑕积分的性质与收敛判别

附录Ⅰ 微积分学简史

附录Ⅱ 实数理论

一 建立实数的原则

二 分析

三 分划全体所成的有序集

四 R中的加法

五 R中的乘法

六 R作为Q的扩充

七 实数的无限小数表示

八 无限小数四则运算的定义

附录Ⅲ 积分表

一 含有xn的形式

二 含有a+bx的形式

三 含有a2±x2，a>0的形式

四 含有a+bx+cx2，b2≠4ac的形式

五 含有√a+bx的形式

六 含有√x2±a2，a>0的形式

七 含有√a2-x2，a>0的形式

八 含有sin x或cos x的形式

九 含有tan x，cot x，sec x，csc x的形式

十 含有反三角函数的形式

十一 含有ex的形式

十二 含有ln x的形式

习题答案

索引

人名索引

《数学分析（第四版 上册）》是“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材。内容包括实数集与函数、数列极限、函数极限、函数的连续性、导数和微分、微分中值定理及其应用、实数的完备性、不定积分、定积分、定积分的应用、反常积分等，附录为微积分学简史、实数理论、积分表。
　　本次修订认真总结了前三版的编写经验，特别对第三版的内容进行了细致的分析，听取了部分使用学校的意见，对第三版的部分内容作了适当调整；实数理论基本定理出现的先后次序作了一些变化；增加了内闭一致收敛的概念，调整了与之有关的内容；适当增加了一些技巧性要求较高的例题，以方便学生学习。第四版仍然保持了教材前三版“内容选取适当，深入浅出，易学易教”的特点。
　　《数学分析（第四版 上册）》可作为高等学校教学类专业的教材使用。