近世代数

第1章群的基本知识

1.1预备知识

1.1.1代数运算

1.1.2运算律

习题

1.2群的定义

习题

1.3群的基本性质及其他定义

习题

1.4群中元素的阶

习题

1.5循环群

习题

1.6群的同态与同构

习题

1.7变换群

习题

1.8置换群

习题

第2章群的进一步讨论

2.1等价关系与集合分类

习题

2.2子群

习题

2.3子群的陪集与拉格朗日定理

习题

2.4正规子群与商群

习题

2.5群的同态与同态基本定理

习题

2.6群同态基本定理的一些应用

习题

第3章环与域

3.1环的定义

习题

3.2整环、除环、域

习题

3.3环的特征

习题

3.4子环

习题

3.5环的同态与同构

习题

3.6理想

习题

3.7商环与环同态基本定理

习题

3.8素理想与极大理想

习题

3.9整环的商域

习题

第4章唯一分解整环

4.1多项式环

习题

4.2唯一分解整环的基本概念

习题

4.3唯一分解整环

习题

4.4主理想环与欧式环

4.4.1主理想环

4.4.2欧氏环

习题

4.5唯一分解整环的多项式扩张

习题

4.6因子分解与多项式的根

习题

第5章域的扩张

5.1扩域、素域

习题

5.2代数扩张

习题

5.3多项式的分裂域

习题

5.4有限域

习题

附录一伽罗瓦与群论的诞生

附录二尺规作图不能问题

附录三对称性群与晶体对称性定律

附录四环与中国剩余定理

附录五有限域与正交的拉丁方

附录六近世代数理论在密码学中的应用

附录七代数系统在编码理论中的应用

参考文献

　　本书主要介绍群、环、域基础知识，以群和环为主要介绍内容，域的扩张可根据实际情况选讲。第一部分包括两章：第一章介绍群的基本知识；第二章为群的进一步讨论。第二部分着重介绍环的基本内容，包括两章：第三章介绍环和相关概念；第四章为环的进一步讨论。第三部分介绍域的扩张。为了给学生开阔视野，与中学代数相联系，感知近世代数内容与解决实际问题的密切联系，本书以附录的形式介绍了以下内容：尺规作图不能问题；对称性群与晶体对称性定律；环的直和与中国剩余定理；有限域的应用密码学、编码学等。　　本书以培养学生抽象思维、逻辑思维能力和提高分析问题、解决问题的能力为宗旨，主要介绍基本的代数系统群、环、域的基本概念和理论，同时配备数量和难度适中的例题和习题。为配合素质教育及与中学课改承接，本书最后也介绍了近世代数的产生背景及近世代数内容在一些著名问题上的应用。