随机数学及其应用

第1章 测度论基础下的概率论简介

1.1 可测空间与概率空间

1.1.1 可测空间与可测集

1.1.2 测度与概率

1.2 可测函数与随机变量

1.2.1 可测函数的定义和性质

1.2.2 随机变量序列的收敛性

1.3 可测函数的积分与数学期望

1.3.1 可测函数积分的定义

1.3.2 可测函数积分的性质

1.3.3 积分收敛定理

1.3.4 随机变量的期望与特征函数

1.3.5 随机变量的特征函数

1.4 乘积空间上的测度论

1.4.1 乘积可测空间

1.4.2 乘积测度和Fubini定理

1.5 条件数学期望

1.5.1 初等概率论中的条件期望

1.5.2 关于σ代数条件下的条件期望

1.5.3 条件期望的重要例子

1.5.4 条件期望的性质

习题1

第2章 随机过程的基本概念

2.1 随机过程的概念

2.1.1 随机过程的定义

2.1.2 随机过程的有限维分布函数族

2.1.3 随机过程的数字特征

2.1.4 随机过程的应用背景简介

2.2 几类常见的随机过程

2.2.1 独立增量过程

2.2.2 正态过程

2.2.3 平稳过程

2.2.4 计数过程

习题2

第3章 泊松过程

3.1 泊松过程的定义

3.1.1 泊松过程的第一种定义

3.1.2 泊松过程的第二种定义及其等价性

3.1.3 强度函数和随机分流定理

3.2 泊松过程的性质

3.2.1 和的分布

3.2.2 到达时刻的条件分布

3.2.3 剩余寿命和年龄的分布

3.3 泊松过程的推广

3.3.1 广义泊松过程

3.3.2 非齐次泊松过程

3.3.3 条件泊松过程

3.3.4 复合泊松过程

3.4 更新过程

3.4.1 更新过程的定义

3.4.2 更新过程的性质

3.4.3 更新过程的推广形式

习题3

第4章 Markov过程

4.1 Markov链的定义及转移概率

4.1.1 Markov链的定义

4.1.2 Markov链的转移概率

4.1.3 Markov链的例子

4.2 Markov链的状态分类与判别

4.2.1 为什么要进行状态的分类

4.2.2 刻画状态类型的特征量

4.2.2 状态类型的定义

4.2.3 状态类型的判定及其性质

4.3 状态之间的关系和状态空间的分解

4.3.1 状态的可达与互通

4.3.2 状态空间的分解

4.3.3 状态空间分解的应用举例

4.4 Markov链的遍历性理论与平稳分布

4.4.1 遍历性定理

4.4.2 Markov链的平稳分布

4.4.3 Markov链的极限分布

4.5 连续时间参数的Markov链

4.5.1 连续时间参数的Markov链的概念

4.5.2 转移速率矩阵——Q矩阵

4.5.3 Kolmogorov微分方程

4.5.4 强Markov性

4.6 特殊的Markov链

4.6.1 随机游动

4.6.2 分枝过程

4.6.3 生灭过程

4.6.4 可逆Markov链

4.6.5 半Markov过程

习题4

第5章 鞅

5.1 鞅的概念与性质

5.1.1 定义与简单性质

5.1.2 重要的例

5.1.3 下鞅分解定理

5.2 停时定理

5.2.1 前代数

5.2.2 停时定理

5.3 鞅的不等式与收敛定理

5.3.1 上穿不等式

5.3.2 下鞅的收敛定理

5.3.3 鞅的不等式

5.4 连续参数鞅

5.4.1 从离散鞅到连续鞅

5.4.2 连续鞅的上鞅分解定理

5.4.3 连续鞅的上穿不等式与收敛定理

5.4.4 连续鞅的停时定理

习题5

第6章 布朗运动

6.1 Brown运动的定义与性质

6.1.1 Brown运动的定义

6.1.2 Brown运动的分布

6.1.2 Brown运动的轨道性质

6.1.3 Brown运动的鞅性质

6.2 Brown运动的首中时与最大值

6.2.1 首中时的分布

6.2.2 最大值的分布

6.2.3 零点与反正弦律

习题6

第7章 随机分析简介

7.1 均方分析

7.1.1 均方极限

7.1.2 均方连续

7.1.2 均方导数

7.1.3 均方积分

7.2 Ito积分的定义及性质

7.2.1 简单过程的Ito积分

7.2.2 一般过程的Ito积分

7.2.3 多维Ito积分

7.3 Ito过程与Ito公式

7.3.1 一维Ito过程与Ito公式

7.3.2 Brown运动的识别

7.3.3 多维Ito公式

7.4 随机微分方程

7.4.1 解的存在性与唯一性

7.4.2 随机微分方程的解法

7.4.3 Ito扩散及其基本性质

7.5 案例分析——欧式期权定价

习题7

第8章 贝叶斯统计推断简介

8.1 贝叶斯统计模型

8.2 选取先验分布方法

8.2.1 无信息先验分布

8.2.2 共轭分布法

8.2.3 杰费莱原则

8.3 贝叶斯参数估计

8.3.1 最大后验估计

8.3.2 条件期望估计

8. 3.3.贝叶斯区间估计

8.4 贝叶斯假设检验

8.5 贝叶斯统计决策

8.5.1 一般统计决策模型

8.5.2 贝叶斯统计决策

8.6 案例分析——过滤垃圾邮件

习题8

随机数学是研究随机现象的现代概率论和数理统计知识的统称，包括测度论、随机过程、随机分析、高等数理统计、统计决策等内容，是一门应用性极强的学科。《随机数学及其应用/工业和信息化部“十二五”规划教材·21世纪高等学校规划教材》由测度论知识概要、随机过程及其应用、随机分析、贝叶斯统计推断和统计决策四部分组成。
　　在叙述方式上注重一定的直观性，同时也保留一些必需的数学上的严谨性。
　　《随机数学及其应用/工业和信息化部“十二五”规划教材·21世纪高等学校规划教材》可供高等院校非数学专业高年级大学生、硕士和博士研究生作为教材使用，也可供相关专业教师及工程技术人员参考。

1.《随机数学及其应用/工业和信息化部“十二五”规划教材·21世纪高等学校规划教材》包含了鞅论、随机微分方程、贝叶斯统计等内容。
　　2.采用直观的讲述方式，精心选择注重实际应用的例题。