随机微分方程导论与应用

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第1章 导言

1.1 典型微分方程的随机模拟

1.2 滤波问题

1.3 确定性边界值问题的随机方法

1.4 最优停时

1.5 随机控制

1.6 数理金融学

第2章 数学基础

2.1 概率空间，随机变量和随机过程

2.2 一个重要例子：布朗运动

练习

第3章 Ito积分

3.1 Ito积分的构造

3.2 Ito积分的性质

3.3 Ito积分的扩张

练习

第4章 Ito公式和鞅表示定理

4.1 1维Ito公式

4.2 多维的Ito公式

4.3 鞅表示定理

练习

第5章 随机微分方程

5.1 例子和某些求解方法

5.2 存在唯一性

5.3 弱解和强解

练习

第6章 滤波问题

6.1 引言

6.2 1维的线性滤波问题

6.3 高维线性滤波问题

练习

第7章 扩散过程：基本性质

7.1 Markov性

7.2 强Markov性

7.3 Ito扩散的生成元

7.4 Dynkin公式

7.5 特征算子

练习

第8章 扩散理论的其他论题

8.1 Kolmogorov后向方程，预解式

8.2 Feynman—Kac公式，消灭

8.3 鞅问题

8.4 Ito过程什么时候是扩散过程

8.5 随机时变

8.6 Girsanov定理

练习

第9章 在边界值问题中的应用

9.1 组合Dirichlet—Poisson问题，唯一性

9.2 Dirichlet问题，正则点

9.3 Poisson问题

练习

第10章 在最优停时方面的应用

10.1 时齐情形

10.2 非时齐的情形

10.3 含积分的最优停时问题

10.4 与变分不等式的联系

练习

第11章 在随机控制方面的应用

11.1 问题的陈述

11.2 Hamilton—Jacobi—Bellman方程

11.3 带终端条件的随机控制问题

练习

第12章 在数理金融学中的应用

12.1 市场，证券组合和套利

12.2 可达性与完备性

12.3 期权定价

练习

附录A 正态随机变量

附录B 条件期望

附录C 一致可积性与鞅收敛

附录D 一个逼近结果

某些练习的附加提示和解答

参考文献

常用符号及记号

索引

《现代数学译丛》已出版书目

厄克森达尔编著的《随机微分方程导论与应用（第6版）》在导言中叙述了6个问题，随机微分方程扮演着本质的角色。在第2章介绍上述问题中的数学模型所需的一些基本的数学概念。由此引出第3章中的Ito积分。在第4章发展到随机分析（Ito公式），第5章则用它解某些随机微分方程，包括在导言中介绍的前面两个问题，在第6章利用随机分析介绍线性滤波问题的解（问题3作为一个例子）。问题4是Dirichlet问题，尽管它是纯确定性的。在第7章和第8章介绍如何引入辅助的Ito扩散（即随机微分方程的解）来得到一个简单的、直观的、有用的随机解，它是随机位势论的基石。问题5是一个最优停时问题。第9章介绍用Ito扩散来表示在t时刻对策的状态，解相应的最优停时问题，它的解包含了位势论中的概念。比如，在第8章Dirichlet问题的解的广义化调和扩张。问题6是Ramsey于1928年提出的经典的控制问题的随机版本。第10章依据随机微分方程求解一般的随机控制问题，应用第7章和第8章的结果证明该问题可归纳成解（确定性的）Hamilton—Jacobi—Bellman方程。作为一个例子，求解了关于最优证券组合选择问题。厄克森达尔编著的《随机微分方程导论与应用（第6版）》的主要内容包括Ito积分和鞅表示定理、随机微分方程、滤波问题、扩散理论的基本性质和其他的论题、在边界值问题中的应用、在最优停时方面的应用、在随机控制领域中的应用及数理金融中的应用。 《随机微分方程导论与应用（第6版）》可供理工和金融管理类的高年级本科生及研究生阅读，也可作为数学系高年级本科生及研究生的教材或科研工作者的参考用书。