数学物理方法

前言

第1章数学物理方程的一些基本知识

1.1三类典型方程的推导

1.1.1弦振动方程与定解条件

1.1.2热传导方程与定解条件

1.1.3位势方程与定解条件

1.1.4定解问题及其适定性

1.2偏微分方程的一些基本概念和分类

1.2.1基本概念

1.2.2二阶线性偏微分方程的分类

1.2.3方程的化简与积分曲线

1.3叠加原理与齐次化原理

1.3.1叠加原理

1.3.2齐次化原理

1.4习题

第2章分离变量法

2.1有界弦的自由振动

2.2有限长杆上的热传导

2.3Laplace方程的边值问题

2.3.1矩形域上Laplace方程的边值问题

2.3.2圆域内Laplace方程的边值问题

2.4非齐次方程的求解问题

2.4.1特征函数法

2.4.2齐次化原理

2.5非齐次边界条件的齐次化

2.6高维、高阶方程定解问题的分离变量法

2.7习题

第3章积分变换法

3.1Fourier变换的定义和性质

3.1.1Fourier积分与Fourier变换

3.1.2Fourier变换的基本性质

3.2Fourier变换在求解偏微分方程定解问题中的应用

3.3Laplace变换的定义和基本性质

3.4Laplace变换在求解偏微分方程定解问题中的应用

3.5小波变换简介

3.5.1连续小波变换

3.5.2窗口宽度与Heisenberg测不准原理

3.5.3离散小波变换

3.6习题

第4章行波法与降维法

4.1一维波动方程

4.1.1无限长弦的自由振动问题

4.1.2半无限长弦的自由振动问题

4.1.3一维非齐次波动方程的初值问题

4.2高维波动方程的初值问题

4.2.1三维波动方程的球对称解

4.2.2三维波动方程的Kirchhoff公式

4.2.3二维波动方程的Poisson公式

4.2.4波动方程解的物理意义

4.3习题

第5章Green函数法

5.1积分学中的几个重要公式

5.2Laplace方程的边值问题和基本解

5.2.1Laplace方程的边值问题

5.2.2Laplace方程的基本解

5.3调和函数的基本积分公式和性质

5.3.1调和函数的基本积分公式

5.3.2调和函数的基本性质

5.4Gteen函数

5.4.1Green函数的引入

5.4.2Green函数的性质

5.5Green函数的求法

5.5.1半空间上的Green函数及Dirichlet问题

5.5.2球域上的Green函数及Dirichlet问题

5.6习题

第6章Bessel函数

6.1Bessel方程和Bessel函数

6.1.1Bessel方程的引出

6.1.2Bessel函数

6.2Bessel函数的递推公式

6.3函数展成Bessel函数的级数

6.3.1Bessel方程的特征值与特征函数

6.3.2Bessel函数的正交性及其模

6.3.3Fourie卜Bessel级数

6.4Bessel函数的应用

6.5习题

第7章Legendre多项式

7.1Legendre方程及其解法

7.1.1Legendre方程的导出

7.1.2Legendre方程的解法

7.2Legendre多项式

7.3函数展成Legendre多项式的级数

7.3.1Legendre多项式的正交性

7.3.2Legendre多项式的模

7.3.3Legendre多项式的级数

7.4Legendre多项式的应用举例

7.5连带Legendre函数

7.6习题

第8章变分法

8.1变分法的一些基本概念

8.1.1泛函的概念

8.1.2泛函的极值

8.2泛函极值的必要条件

8.2.1依赖一个一元函数的泛函极值问题

8.2.2依赖多个一元函数的泛函极值问题

8.2.3依赖多元函数的泛函极值问题

8.3泛函的条件极值问题

8.4变分问题直接法

8.5习题

附录

附录A积分变换表

表A1Fourier变换简表

表A2Lapiece变换简表

附录BBessel函数表

附录CJn(x)的前9个正零点um的近似值

部分习题参考答案

参考文献

　　本书根据目前高等院校理工科各专业的教学实际编写而成。全书共分8章，主要介绍了典型数学物理方程及其定解条件的推导，数学物理方程的基本概念和分类；数学物理方程的分离变量法、积分变换法、行波法、Greeen函数法等常用求解方法等内容。本书可作为高等院校理工科各专业的本科生及工科相关专业的研究生教材或参考书，也可供工程技术人员、数学和物理工作者参考。　　本书根据目前高等院校理工科各专业的教学实际编写而成。全书共分8章，第1章介绍典型数学物理方程及其定解条件的推导，数学物理方程的基本概念和分类，第2～5章分别介绍数学物理方程的分离变量法、积分变换法、行波法、Greeen函数法等常用求解方法；第6、7两章分别讨论Bessel函数和Legendre多项式的基本性质及其在求解数学物理方程中的应用；第8章简要介绍变分法的基本知识和变分问题的求解方法。全书概念清楚、论证适度，注重方法与应用，理论联系实际，适当与现代数学知识接轨，深入浅出，便于教学。　　本书可作为高等院校理工科各专业的本科生及工科相关专业的研究生教材或参考书，也可供工程技术人员、数学和物理工作者参考。