初等数论及其应用

前言

符号表

何谓数论1

第1章　整数4

1.1　数和序列4

1.2　和与积12

1.3　数学归纳法17

1.4　斐波那契数22

1.5　整除性27

第2章　整数的表示法和运算33

2.1　整数的表示法33

2.2　整数的计算机运算39

2.3　整数运算的复杂度44

第3章　素数和最大公因子50

3.1　素数50

3.2　素数的分布57

3.3　最大公因子及其性质68

3.4　欧几里得算法74

3.5　算术基本定理82

3.6　因子分解法和费马数93

3.7　线性丢番图方程100

第4章　同余106

4.1　同余概述106

4.2　线性同余方程115

4.3　中国剩余定理118

4.4　求解多项式同余方程124

4.5　线性同余方程组129

4.6　利用波拉德ρ方法分解整数137

第5章　同余的应用139

5.1　整除性检验139

5.2　万年历144

5.3　循环赛赛程148

5.4　散列函数149

5.5　校验位153

第6章　特殊的同余式159

6.1　威尔逊定理和费马小定理159

6.2　伪素数165

6.3　欧拉定理172

第7章　乘性函数176

7.1　欧拉函数176

7.2　因子和与因子个数183

7.3　完全数和梅森素数188

7.4　莫比乌斯反演199

7.5　拆分204

第8章　密码学215

8.1　字符密码215

8.2　分组密码和流密码221

8.3　指数密码235

8.4　公钥密码学237

8.5　背包密码244

8.6　密码协议及应用249

第9章　原根256

9.1　整数的阶和原根256

9.2　素数的原根261

9.3　原根的存在性266

9.4　离散对数和指数的算术272

9.5　用整数的阶和原根进行素性检验279

9.6　通用指数284

第10章　原根与整数的阶的应用289

10.1　伪随机数289

10.2　埃尔伽莫密码系统295

10.3　电话线缆绞接中的一个应用299

第11章　二次剩余304

11.1　二次剩余与二次非剩余304

11.2　二次互反律316

11.3　雅可比符号326

11.4　欧拉伪素数334

11.5　零知识证明340

第12章　十进制分数与连分数346

12.1　十进制分数346

12.2　有限连分数355

12.3　无限连分数362

12.4　循环连分数372

12.5　用连分数进行因子分解383

第13章　某些非线性丢番图方程386

13.1　毕达哥拉斯三元组386

13.2　费马大定理393

13.3　平方和402

13.4　佩尔方程411

13.5　同余数416

第14章　高斯整数429

14.1　高斯整数和高斯素数429

14.2　最大公因子和唯一因子分解437

14.3　高斯整数与平方和445

附录A　整数集公理450

附录B　二项式系数452

附录C　Maple和Mathematica在数论中的应用457

附录D　有关数论的网站464

附录E　表格465

参考文献479

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