伽罗瓦理论

序言

前言

0. 伽罗瓦理论概述

1. 有限伽罗瓦扩张

1.1 伽罗瓦对应

1.2 阿廷引理

1.3 戴德金无关性引理

1.4 有限伽罗瓦扩张

习题

2. 伽罗瓦理论基本定理

2.1 表述及意义

2.2 证明

2.3 注记与例子

2.4 代数基本定理

习题

3. 伽罗瓦群的计算

3.1 伽罗瓦的原始思想

3.2 判别式

3.3 4次方程

3.4 纯粹方程

3.5 分圆域

3.6 素数次对称群

3.7 布饶尔的构造

习题

4. 一般方程的伽罗瓦群

4.1 一般方程

4.2 伽罗瓦反问题

习题

5. 方程根式可解的伽罗瓦大定理

5.1 历史背景及表述

5.2 充分性的证明

5.3 必要性的证明

5.4 3次方程求根公式

5.5 4次方程求根公式

习题

6.模p法

6.1 有理函数域

6.2 模p法

6.3 对称群

习题

7.e和π的超越性

7.1 林德曼魏尔斯特拉斯定理

7.2 证明

……

附录I：所需群和环中的结论

附录II：域论摘要

参考文献

中英文名词索引

《现代数学基础·伽罗瓦理论：天才的激情》是一本专门讲述伽罗瓦理论的教材。内容包括伽罗瓦理论基本定理和多项式方程的根式可解性、伽罗瓦群的计算及其反问题，《现代数学基础·伽罗瓦理论：天才的激情》强调通过伽罗瓦对应，可将代数数域中的问题转化成群论的问题加以解决。作为这种思想的应用，证明了代数基本定理，解决了e和π的超越性及尺规作图的四大古代难题。为方便读者查阅，附录中详细梳理了所要用到的群、环、域方面的结论。每节配有充足的习题并包含提示。《现代数学基础·伽罗瓦理论：天才的激情》可作为高等学校数学类各专业的教材，也可供其他相关专业参考。