最优控制中的数学方法

前言

第1章 线性时变系统二次最优控制问题的Riccati微分方程

1.1 最优控制问题和Riccati矩阵微分方程

1.1.1 LQ最优控制问题

1.1.2 倒向Riccati矩阵微分方程

1.2 Riccati倒向矩阵微分方程的迭代法

1.2.1 线性时变系统二次最优控制问题的Lyapunov微分方程

1.2.2 倒向Riccati矩阵微分方程的Lyapunov形式

1.2.3 倒向Riccati矩阵微分方程的迭代法

1.3 迭代矩阵函数序列的一致收敛性

1.4 迭代矩阵函数序列具有平方阶收敛速度

1.5 Riccalti矩阵微分方程和Hamilton系统

第2章 稳定系统二次最优控制问题的Riccati代数方程

2.1 线性稳定系统二次最优控制问题

2.1.1 线性稳定系统二次最优控制问题

2.1.2 Riccati矩阵代数方程

2.2 线性稳定系统二次最优控制问题的Riccati方程的迭代法

2.2.1 线性稳定系统二次最优控制问题的Lyapunov方程

2.2.2 Riccati矩阵代数方程的Lyapunov形式

2.3 迭代矩阵序列

2.4 迭代矩阵序列收敛到Riccati方程的正定解

2.5 迭代矩阵序列具有平方阶收敛速度

2.6 非线性稳定解析系统的最优控制问题

2.6.1 非线性稳定解析系统的最优控制问题

2.6.2 值函数

2.6.3 非线性稳定解析系统的最优控制问题的迭代法

第3章 线性随机系统二次最优控制问题的Riccati微分方程

3.1 线性随机系统二次最优控制问题

3.1.1 线性随机系统二次最优控制问题

3.1.2 倒向Riccati矩阵微分方程

3.2 线性随机二次最优控制问题的Riccati微分方程的迭代法

3.2.1 Riccati矩阵微分方程（3.1.3）～（3.1.5）的Lyapunov形式

3.2.2 Riccati矩阵微分方程的迭代法的数学原理

3.3 迭代矩阵序列的一致收敛性

3.4 迭代矩阵函数序列具有线性阶收敛速度

3.5 迭代矩阵序列和例

3.6 在倒向线性随机系统二次最优控制中的应用

3.6.1 一类倒向线性随机系统的二次最优控制

3.6.2 Riccati矩阵微分方程（3.6.4）的迭代算法

第4章 线性随机系统日H∞控制问题的Riccati微分方程

4.1 线性随机系统H∞控制问题和Riccati矩阵微分方程

4.1.1 随机系统H∞控制问题

4.1.2 线性时变随机系统H∞控制问题

4.2 线性随机系统H∞控制问题的Riccati微分方程的迭代法

4.2.1 Riccati矩阵微分方程

4.2.2 Riccati矩阵微分方程的迭代法

4.3 迭代算法和例

4.4 一类线性定常随机H∞控制问题

4.4.1 线性定常随机H∞控制问题

4.4. 2关于矩阵的稳定性

4.4.3 一列收敛的Lyapunovr矩阵代数方程的解

4.4.4 Riccati矩阵代数方程的迭代解法

第5章 约束最优控制问题的倒向微分方程

5.1 有约束的线性系统的最优控制问题

5.2 典范对偶函数和倒向微分方程

5.3 倒向微分流和全局最小点

5.4 最优控制问题的解析解

5.5 带有盒子约束的全局优化问题

5.5.1 盒子约束的非凸优化问题

5.5.2 微分流和典范对偶函数

5.5.3 典范对偶问题

5.5.4 一个全局优化问题

第6章 约束线性系统二次最优控制问题的倒向微分方程

6.1 有约束的线性系统的二次最优控制问题

6.2 球约束的线性二次最优控制问题

6.3 盒子约束的线性二次最优控制问题

第7章 若干最优控制的数学方法

7.1 奇异最优控制问题

7.1.1 全局优化问题

7.1.2 奇异最优控制问题

7.1.3 最优控制问题（PE）的解析解

7.2 Gurman摄动方法

7.3 Krotov延拓方法

7.3.1 非凸全局最优化问题及其等价的最优控制问题

7.3.2 Krotov延拓法简介

7.3.3 利用Krotov延拓求解一个典型的非凸问题

7.3.4 关于目标函数为R1上的一类多项式

7.3.5 关于目标函数为Rn上的一类多项式

7.4 Lie级数方法

7.4.1 局部时间最优控制问题

7.4.2 bang-bang极值控制的最优性条件

7.4.3 Lie级数方法

7.5 解析系统的最优控制

7.5.1 Lie级数状态离散方法

7.5.2 箱体约束的全局优化的典范微分流

7.5.3 典范对偶问题

7.5.4 Lie级数逼近

7.6 最优值的估计方法

7.6.1 正定二次控制模型的快速估值问题

7.6.2 利用线性规划估计正定二次最优控制问题的最优值

7.6.3 参数规划方法

7.7 典范对偶方法

7.7.1 高阶多元多项式的全局最优化

7.7.2 全局优化的典范对偶方法

7.7.3 一类箱体约束下的多项式最优化问题的求解

7.7.4 一个二元六次多项式全局最优化

附录A 线性系统二次最优控制理论

A.1 线性时变系统的最优控制问题和值函数

A.2 Riccati矩阵微分方程

A.3 最优反馈控制

A.4 线性定常系统的二次最优控制问题

A.5 Riccati矩阵代数方程的解

A.6 线性定常系统的二次最优控制问题的最优反馈控制

附录B 矩阵线性方程的迭代解

附录C 矩阵二次方程的解

附录D 解析系统的输出可控性

D.1 输出可控性

D.2 Lie级数

参考文献

《最优控制中的数学方法》介绍和分析了一些最优控制中的数学方法，包含作者近年来的研究成果及其应用。主要内容包括：线性时变系统二次最优控制的Riccati矩阵微分方程的迭代求解、稳定系统最优控制问题的迭代逼近、线性随机系统二次最优控制的Riccati矩阵微分方程的迭代分析、线性随机系统H∞控制问题的Riccati矩阵方程的迭代方法、约束最优控制问题的倒向微分方程、约束线性系统二次最优控制问题的解析解、奇异最优控制问题的Gurman摄动方法、最优控制问题的Krotov延拓方法、局部时间最优控制和仿射解析系统最优控制问题的Lie级数方法。

　　《最优控制中的数学方法》可作为应用数学、系统与控制科学、数学规划和最优控制等专业高年级大学生或研究生的教材或参考用书，也可供相关专业教师和科研工作者参考。