应用泛函分析

第一章 线性空间与内积空间

§1.1 集合与映射

§1.1.1 集合及性质

§1.1.2 集合的运算

§1.1.3 映射

§1.2 集合的基数

§1.2.1 可数集与不可数集

§1.2.2 实数集的确界存在原理

§1.3 线性空间与线性算子

§1.3.1 线性空间

§1.3.2 线性子空间

§1.3.3 线性空间的基与维数

§1.3.4 线性算子

§1.3.5 线性同构

§1.4 内积空间

§1.4.1 内积空间的定义及例

§1.4.2 内积空间的几何

§1.4.3 内积空间的线性子空间与同构

§1.4.4 内积空间中的正交系

§1.5 疑难问题解析

第二章 度量空间与赋范线性空间

§2.1 赋范线性空间

§2.1.1 赋范线性空间的定义及例

§2.1.2 由范数导出的度量

§2.1.3 收敛序列，连续映射

§2.1.4 级数与Schauder基

§2.1.5 完备的赋范线性空间

§2.1.6 子空间

§2.2 赋范线性空间中的点集

§2.2.1 开集，闭集

§2.2.2 集合的闭包

§2.2.3 稠密集与可分空间

§2.3 度量空间

§2.3.1 度量空间

§2.3.2 度量空间中的紧性

§2.3.3 度量空间的完备化

§2.4 有限维赋范线性空间

§2.4.1 有限维赋范空间的完备性

§2.4.2 有限维线性空间上范数的等价性

§2.4.3 有限维赋范空间的特征

§2.5 Banach压缩映射定理及其应用

§2.5.1 Banach压缩映射定理

§2.5.2 Banach压缩映射定理的应用

第三章 Lebesgue积分与护空间

§3.1 引言

§3.1.1 Riemann积分的定义

§3.1.2 Lebesgue积分的定义

§3.2 集合的Lebesgue测度

§3.3 可测函数。

§3.4 Lebesgue积分

§3.4.1 有限测度集E上有界可测函数的积分

§3.4.2 有限测度集E上无界非负可测函数的积分

§3.4.3 可测集E上非负可测函数的积分

§3.4.4 可测集E上任意可测函数的积分

§3.5 Lebesgue积分的几个重要定理

§3.6 Lp[a,b]空间

第四章 赋范线性空间上的有界线性算子

§4.1 赋范线性空间上的有界线性算子

§4.1.1 有界线性算子

§4.1.2 线性算子的有界性和连续性

§4.1.3 有界线性算子空间

§4.1.4 有界线性算子代数β(X)

§4.2 赋范线性空间上的有界线性泛函

§4.2.1 赋范线性空间上的有界线性泛函

§4.2.2 对偶空间

§4.2.3 有限秩算子的构造

§4.3 有限维空间上的线性算子

§4.3.1 有限维空间上的线性算子的表示

§4.3.2 Mn×n(C)上的方阵范数

§4.3.3 方阵的谱半径

第五章 广义Fourier级数与最佳平方逼近

§5.1 正交投影和广义Fourier级数

§5.1.1 正交投影与正交分解

§5.1.2 Fourieir系数与Bessel不等式

§5.1.3 完全标准正交系及其等价条件

§5.2 函数的最佳平方逼近

§5.2.1 最佳平方逼近问题

§5.2.2 多项式逼近

§5.2.3 用正交多项式作函数的最佳平方逼近

§5.3 正交多项式

§5.3.1 正交多项式的基本概念和性质

§5.3.2 Legendre多项式

§5.3.3 带权函数的正交多项式

§5.4 曲线拟合的最小二乘法

§5.4.1 曲线拟合的最小二乘问题

§5.4.2 最小二乘解的求法

第六章 习题

§6.1 线性空间与内积空间

§6.2 度量空间与赋范线性空间

§6.3 Lebesgue积分与Lp空间

§6.4 赋范线性空间上的有界线性算子

§6.5 Hilbert空间

§6.6 广义Fourier级数与最佳平方逼近

附录 一些重要的不等式

§A.1 Holder不等式

§A.2 Minkowski不等式

参考文献

《应用泛函分析（非数学类专业研究生教学用书）》是编者在天津大学多年教学经验的基础上编写而成的。主要内容包括线性空间与内积空间，度量空间与赋范线性空间，Lebesgue积分与Lp空间，赋范线性空间上的有界线性算子，广义Fourier级数与最佳平方逼近，习题等。教材对教学内容优化组合，例题丰富，实用性强。
　　《应用泛函分析（非数学类专业研究生教学用书）》注重数学概念的准确性和数学理论的严谨性，略去繁杂的数学证明，注重培养学生的抽象思维和逻辑推理能力、数学表达能力和获取新知识的自学能力，使学生的数学修养得到提高，增强创新能力。
　　《应用泛函分析（非数学类专业研究生教学用书）》可作为高等学校工科各专业硕士研究生教材，还可作为数学类专业本科高年级学生教材，也可作为工程技术人员学习参考书。