非线性力学导论

第l讲 绪论

1.1 差分动力系统例

1.2 微分动力系统例

1.3 非线性问题的主要特点

第2讲 相空间与轨线解的稳定性

2.1 相空间

2.2 动力系统的基本性质

2.3 稳定性

2.3.1 李雅普诺夫稳定性概念

2.3.2 按线性化近似判断稳定性

2.3.3 李雅普诺夫第二方法

2.3.4 李雅普诺夫第二方法（续）

第3讲 平面上的动力系统奇点与极限环

3.1 初等奇点

3.1.1 以点（O，0）为奇点的线性系统

3.1.2 以点（0，0）为奇点的非线性系统

3.1.3 保守系统

3.1.4 非保守系统

3.2 极限环

3.3 系统参数改变对解的定性的影响

附：同胚

第4讲 结构稳定与分支{岔）现象

4.1 一个大范围的结构稳定性定理

4.2 高阶奇点的分支

4.3 Hopf分支

4.4 Point-are分支

4.5 多重闭轨分支

4.6 同宿轨线的分支

4.7 固体力学中的几个例子

第5讲 突变

5.1 梯度系统、突变及其条件

5.2 通用扩展和余维数（参数的个数）

5.2.1 折叠突变（余维数为1）

5.2.2 尖点突变（余维数为2）

5.3 相变（尖点突变的应用）

5.3.1 零阶相变

5.3.2 一阶相变

5.3.3 二阶相变

5.4 突变的规则

第6讲 单自由度力学系统的自由振动

6.1 单自由度系统

6.1.1 简单的保守系统

6.1.2 单自由度（二维）系统的分类

6.2 单摆运动

6.2.1 线性化

6.2.2 非线性方程

6.2.3 有阻尼情形（耗散系统）

6.3 Van der Pol方程

6.3.1 方程解的定性性质

6.3.2 奇异摄动法（多尺度）和方程近似解

6.4 Dufling方程的自由振动

6.4.1 无阻尼的自由振动

6.4.2 有阻尼的自由振动

第7讲 单自由度力学系统的强迫振动

7.1 用平均化方法求周期解

7.2 Duffing方程一非线性强迫耗散系统

7.2.1 用平均法求强迫运动（渐近解）

7.2.2 用摄动法求强迫运动共振

7.3 受追Van der Pol方程

7.4 组合振动

第8讲 吸引子与混沌

8.1 吸引子

8.2 连续系统

8.2.1 连续系统的吸引子

8.2.2 连续系统的Lyapunov指数

8.3 离散系统

8.3.1 一维

8.3.2 二维

8.4 混沌的特征

8.5 Lorenz吸引子（连续）

8.5.1 当x=y=z=0

8.5.2 当u>1时其他两个平衡点

8.5.3 当u>u1

8.5.4 有界性

8.6 Henon吸引子（离散）

8.6.1 A点附近变换

8.6.2 大范围

8.7 混沌（离散系统）的定义

8.7.1 动力系统的周期解

8.7.2 混沌的定义

第9讲 分形与分数维

9.1 分形的描述之一——分数维

9.2 一些特殊集合的维数

9.3 混沌吸引子的分数维

9.3.1 二维映射

9.3.2 三维自治系统

9.3.3 任意维自治系统的混沌吸引子（某不动点附近）

9.4 自相似结构

9.4.1 任意函数f（x）的自相似关系

9.4.2 换一种形式写出上述自相似结构

9.4.3 自相似函数——weierstrass函数

9.4.4 自相似结构——螺旋结构

附录

附1 奇异摄动法简介

附1.1 小参数摄动

附1.2 多重尺度法

附2 三次方程的解

参考书目

《非线性力学导论》是在浙江大学力学系开设多年的“非线性力学”课程讲义的基础上修订得到的，适用于32学时的研究生课程。在这门课程中，我们主要是以力学为例介绍一些非线性系统所特有的现象，使得对读者在今后的学习和工作中有所帮助。《非线性力学导论》共分九讲：绪论、相空间与轨线、平面上的动力系统、结构稳定与分支（岔）现象、突变、单自由度力学系统的自由振动、单自由度力学系统的强迫振动、吸引子与混沌，以及分形与分数维。