常微分方程

第1章基本概念

1.1微分方程的例子

习题1.1

1.2基本概念

1.2.1常微分方程和偏微分方程

1.2.2解和通解

1.2.3积分曲线和积分曲线族

习题1.2

第2章一阶方程的初等积分法

2.1变量可分离方程

习题2.1

2.2齐次方程

习题2.2

2.3一阶线性方程

习题2.3

2.4全微分方程

2.4.1全微分方程

2.4.2积分因子

习题2.4

2.5一阶隐方程

2.5.1可解出y的方程

2.5.2不显含x的方程

习题2.5

2.6应用举例

习题2.6

第3章一阶方程的一般理论

3.1微分方程及其解的几何解释

3.1.1方向场

3.1.2图像法

3.1.3欧拉折线

习题3.1

3.2毕卡存在与唯一性定理

习题3.2

3.3解的延拓

习题3.3

3.4解对初值的连续性

习题3.4

3.5解对初值的可微性

习题3.5

3.6一阶隐方程的奇解

3.6.1一阶隐方程解的存在与唯一性定理

3.6.2p判别曲线法

3.6.3c判别曲线法

习题3.6

第4章高阶微分方程

4.1高阶微分方程

4.1.1引论

4.1.2高阶微分方程的降阶法

习题4.1

4.2高阶线性齐次微分方程

4.2.1线性齐次微分方程的一般理论

4.2.2常系数线性齐次微分方程的解法

4.2.3某些变系数线性齐次微分方程的解法

习题4.2

4．3二阶线性齐次微分方程的幂级数解法

4．3．1引言

4．3．2常点邻域内的幂级数解

4．3．3正则奇点邻域内的广义幂级数解

4．3．4两个特殊方程

习题4．3

4．4高阶线性非齐次微分方程

4．4．1线性非齐次微分方程的一般理论

4．4．2常系数线性非齐次微分方程的解法

习题4．4

4．5应用举例

4．5．1弹簧振动问题

4．5．2电磁振荡问题

4．5．3弹簧振动的微分方程的求解

习题4．5

第5章微分方程组

5．1微分方程组的基本概念

5．1．1引言

5．1．2解的存在唯一性定理

5．1．3化为高阶方程法和可积组合法

习题5．1

5．2线性齐次微分方程组

5．2．1线性齐次微分方程组的一般理论

5．2．2常系数线性齐次微分方程组的解法

习题5．2

5．3阶线性非齐次微分方程组

5．3．1线性非齐次微分方程组的一般理论

5．3．2常系数线性非齐次微分方程组的解法

习题5．3

5．4应用举例

5．4．1捕食者与被捕食者的生态问题

5．4．2多回路的电路问题

习颢5．4．

第6章定性理论与稳定性理论初步

6．1定常系统

6．1．1动力系统、相空间与轨线

6．1．2定常系统轨线的类型

习题6．1

6．2平面定常系统的奇点

6．2．1线性系统的奇点

6．2．2非线性系统的奇点

习题6．2

6．3解的稳定性

6．3．1李雅普诺夫(Liapunov)稳定性的概念

6．3．2按线性近似法判别稳定性

6．3．3李雅普诺夫直接法

习题6．3

6．4极限环

6．4．1极限环的概念

6．4．2极限环存在性的判别

习题6．4

第7章差分方程

7．1基本概念

习题7．1

7．2一阶差分方程

7．2．1一阶线性差分方程一

7．2．2一阶非线性差分方程

习题7．2

7．3高阶线性差分方程的一般理论

7．3．1解的简单性质

7．3．2通解的结构

7．3．3阿贝尔(Abel)定理

习题7．3

7．4二阶常系数线性差分方程的解法

7．4．1 R的情形

7．4．2 Rn≠0的情形

习题7．4

附录A常微分方程发展概要

附录B答案与提示

参考文献

本书分为7章： 基本概念，一阶方程的初等积分法，一阶方程的一般理论，高阶微分方程，微分方程组，定性理论与稳定性理论初步，差分方程．内容取材精练，注重概念实质的揭示、定理思路的阐述、应用方法的介绍和实际例子的分析，并配合内容引入了数学软件．每章配有习题，全部计算题都有答案，个别证明题有提示．本书可用作师范院校、理工科大学的数学类各专业的教科书和部分理工科其他专业的参考书．