数学在19世纪的发展

《数学翻译丛书》序

编者前言

引言

第一章 线性不变量理论的基本概念初步

a 一般线性不变量理论概述

1 线性代换．不变量的概念

2 graβmann层量

3 关于我们的量丛（特别是graβmann层量）的几何意义

4 二次型及其不变量

5 关于二次型的等价

6 由一个二次型确定仿射度量

7 关于含同步变量的双线性型和含逆步变量的双线性型

b 线性不变量理论的意义随向量分析的引入而导致的扩充

1 关于erlangen纲领

2 对三维空间的特殊考察

3 四元数插话

4 过渡到向量代数和张量代数的基本概念

5 向量分析（张量分析）的引入

6 向量学中的不变量理论表述

7 关于在maxwell的treatise（通论）之后向量学在各国的发展

第一章注释

第二章 力学与数学物理中的狭义相对论

a 经典天体力学与galilei-newton群的相对论

1 从n体问题的微分方程看群的定义和意义

2 关于经典力学n体问题的10个通积分

b maxwell电动力学和lorentz群的相对论

ⅰ 导论

1 自由以太的maxwell方程组

2 正交形式下的lorentz群

3 返回到x，y，z，t

4 谈电学和原子的概念在maxwell的通论发表（1873）后的发展

5 关于20世纪以前对maxwell理论的数学处理

6 关于lorentz群的发展过程

7 关于新学说的进一步的传播．1911年及1909年以后的发展

ⅱ 在正交形式下lorentz群的处理

1 相应四维分析纲要

2 再谈四元数

3 关于用积分关系式来代替maxwell方程组

4 四维势以及与之相关的变分定理

5 我们的四维分析在具体问题上的应用举例

6 lorentz群的相对论

ⅲ 回归lorentz群的实数关系

1 导论

2 几何的辅助概念

3 借助进一步的几何运算完善我们的物理世界图像

4 关于偏微分方程 的求积简史

5 初等光学，特别是几何光学，作为maxwell方程组的第一级近似

c 关于力学与lorentz群的相对论的相适应

1 从lorentz群向galilei-newton群的极限过渡

2 单个质点的动力学

3 谈刚体的理论

结束语

第二章注释

第三章 以二次微分形式为基础的解析点变换群

a 经典力学的一般lagrange方程

引言

1 lagrange方程及其g∞群的引入

2 lagrange方程的g∞群和galilei newton群 copernicus坐标系和ptolemy坐标系

3 简化变分原理，过渡到几何

b 建立在gauβ的《disquisitiones circa superficies curvas（曲面理论的一般研究）》的基础之上的二维流形的内蕴几何学

1 概述

2 关于测地线的微分方程

3 在不变量理论框架中gaub曲面论中几个最简单的定理和概念

4 谈gauβ全曲率概念的引入

5 关于在任意给定的ds2下全曲率k的解析表示

6 riemann公式的证明以及几种相应的计算

7 关于两个二元ds2之间的等价．全曲率为常量时的详情

c n维riemann流形 i．形式基础

1 历史简述

2 只有一阶微分的微分形式

3 关于riemann全曲率的开场白

4 测地线方程以及与之相关的不变量

5 riemann的[ω]

6 riemann全曲率的计算公式

d n维riemann流形 ii．正规坐标．几何意义

1 riemann正规坐标及其所属的ds2的结构

2 限制到o的最近的邻域．kn的一般几何意义

3 位置不变量k的几何意义

4 最简单的方向不变量的几何意义．过渡到平均曲率k（n-1）

5 在零全曲率空间或定常全曲率空间中的等价问题

e riemann之后的若干进一步发展

1 1870年前后出现的一些人物的个性以及他们的后续影响

2 beltrami的构造不变量的方法

3 lipschitz与christoffel：通过微分和消元法，特别是通过“逆步微分”构造不变量

4 谈christoffel在1869年的论文

5 用无限小变换表征不变量（lie）

6 关于一任意张量tik的向量散度

结束语

第三章注释

附录ⅰ dr. felix klein：对新近以来几何学研究的比较考察

附录ⅱ bernhard riemann：单复变量函数一般理论基础

附录ⅲ bernhard riemann：论奠定几何学基础之假设

附录ⅳ bernhard riemann：对试图回答最著名的巴黎科学院所提出问题的数学评述

人名索引

专业名词索引

译后记

《数学在19世纪的发展（第2卷）》与第一卷有所不同，它是专门讲述不变量理论以及相对论的数学源头，即相对论的数学史前史的，其中也包括了克莱因本人的一些研究成果。从数学上来讲，狭义相对论可以说就是在lorentz变换群下的不变量理论，而广义相对论则可说是在一般点变换群下的不变量理论。在这个意义上，相对论与克莱因的《erlangen纲领》在思想上是一脉相承的。相对论与19世纪数学在思想上与历史上的联系第一次在《数学在19世纪的发展（第2卷）》中得到了详细的论述。
《数学在19世纪的发展（第2卷）》不再是按时间发展的顺序讲述，而是将不变量理论及其在物理学中的应用归拢到一起做系统的讲述。时至今日，它仍是学习不变量理论及其应用的一本极好的教材，对学习数学和物理的学生和教师都有极高的参考价值，也适合对数学及科学思想文化发展感兴趣的读者阅读。