数学思想领悟

第一章数学思想概述

1.1对数学思想重要性的认识渐趋深刻

1.1.1经验的总结

1.1.2现实的需要

1.1.3认知的实现

1.2大力加强对数学思想的探讨

1.2.1思想和数学思想

1.2.2数学思想与科学思想

1.2.3历史上数学思想的几次重大突破与中学数学教材内容的阶段性转折

1.2.4数学思想中的基本数学思想

1.2.5思路、思绪、思考和意识(观念)

1.2.6数学思想与数学方法的关系

思考题

第二章两大“基石"思想

2.1符号化与变元表示思想

2.1.1换元思想

2.1.2方程思想

2.1.3参数思想

2.2集合思想

2.2.1类分思想(并集思想)

2.2.2求同思想(交集思想)

2.2.3互补思想(补集思想)

思考题

思考题参考解答

第三章两大“支柱"思想

3.1对应思想

3.1.1映射思想

3.1.2函数思想

3.1.3变换思想

3.1.4对称思想

3.1.5递归思想

3.1.6数形结合思想

3.2公理化与结构思想

3.2.1公理化思想

3.2.2演绎思想

3.2.3日纳思想

3.2.4类比思想

3.2.5结构思想

3.2.6极限思想

3.2.7模型思想

思考题

思考题参考解答

第四章两大“主梁”思想

4.1系统与统计思想(一)

4.1.1系统思想

4.1.2整体思想

4.1.3分解组合思想

4.1.4运动变化思想

4.1.5最优化思想

4.2系统与统计思想(二)

4.2.1统计思想

4.2.2随机思想

4.2.3统计调查思想

4.2.4假设检验思想

4.2.5量化思想

4.3化归与辩证思想(一)

4.3.1化归思想

4.3.2纵向化归

4.3.3横向化归

4.3.4同向化归

4.3.5逆向化归

4.4化归与辩证思想(二)

4.4.1辩证思想

4.4.2对立统一思想

4.4.3互变思想

4.4.4转换思想

4.4.5一分为二思想

思考题

思考题参考解答

第五章数学思想的运用与领悟

5.1集合问题

5.1.1学习集合应注意的几个问题符号化与变元表示思想的运用

5.1.2集合的图形表示及应用数形结合思想的运用

5.1.3关注集合元素的特征符号化与变元表示思想的运用

5.1.4重视空集的特殊性和重要作用一分为二思想的运用

5.1.5反面求解补集思想的运用

5.2简易逻辑与推理问题

5.2.1逻辑联结词与真假命题的集合语言表示结构思想的运用

5.2.2用集合观点处理充要条件问题集合思想的运用

5.2.3对数学归纳法的深入理解递归思想的运用

5.3函数问题

5.3.1映射、函数等概念的正确把握特殊与一般转换思想的运用

5.3.2函数的单调区间及单调性的应用模型思想的运用

5.3.3指数函数、对数函数的单调性及应用类分思想的运用

5.3.4幂函数、指数函数、对数函数的参变量漫谈运动变化思想的运用

5.3.5从反函数的定义谈起对应思想的运用

5.3.6函数奇偶性的判定与应用符号化变元表示思想的运用

5.3.7关于对称问题的求解对称思想的运用

5.4三角问题

5.4.1对角的概念推广与符号表示的深刻认识符号化与变元表示思想的运用

5.4.2弧度制及应用对应思想的运用

5.4.3诱导公式的新概括符号化与变元表示思想的运用

5.4.4函数y=Asin(舛+驴)的图象变换思想的运用

5.4.5单位圆的应用数形结合思想的运用

5.4.6三角函数的性质及应用特殊与一般转换思想的运用

5.4.7角的代换与变换化归思想的运用

5.4.8三角式余弦定理特殊与一般转换思想的运用

5.4.9弦函数的“平方差”公式整体思想的运用

5.4.10三角中的三倍角公式变换思想的运用

5.4.11余弦定理的简单应用转换思想的运用

5.5立体几何问题

5.5.1平面的属性与描述符号化与变元表示思想的运用

5.5.2公理3的三个推论的证明公理化思想的运用

5.5.3空间直线位置关系的识别与证明类分思想的运用

5.5.4线面垂直判定定理的证明转化思想的运用

5.5.5直线和平面所成的角及其求解转化思想的运用

5.5.6平面与平面平行、垂直的判定与性质归纳思想的运用

5.5.7二面角的求解方法归纳思想的运用

5.5.8立体几何求解题的规范化表述最优化思想的运用

5.5.9立体几何中的反证法证明补集思想的运用

5.5.10平面图形的翻折问题及求解运动变化思想的运用

5.5.11异面直线上两点问的距离公式化归思想的运用

5.5.12底面为矩形的棱锥的一个美妙结论化归思想的运用

5.5.13平行六面体的妙用模型思想的运用

5.5.14立体几何中的几何变换运动变化思想的运用

5.5.15一种重要的思维方式类比思想的运用

5.5.16一种有效的处理途径一转换思想的运用

5.5.17一种常用的求解方法分解组合思想的运用

5.5.18射影法与解析法的配合运用转化思想的运用

5.5.19三类角的珠联璧合关系系统思想的运用

5.5.20立体几何中的“定比分点”公式特殊向一般转换思想的运用

5.6平面解析几何问题

5.6.1解析法证题浅谈数形结合思想的运用

5.6.2定比分点公式浅析公式所包含的多种思想

5.6.3直线及直线方程的建立数形结合思想的运用

5.6.4简单的线性规划及应用最优化思想的运用

5.6.5直线系方程参数思想的运用

5.6.6直线与圆有公共点的运用参数思想的运用

5.6.7圆的各种形式的方程及应用符号化与变元表示思想的运用

5.6.8谈圆的直径式方程分解组合思想的运用

5.6.9动点到两定点距离的和差最值类比思想的运用

5.6.10圆、椭圆、双曲线的定义问题纵向化归思想的运用

5.6.11利用圆锥曲线的定义解题化归思想的运用

5.6.12一串优美的定值结论特殊与一般转化思想的运用

5.6.13圆锥曲线焦半径公式的应用模型思想的运用

5.6.14过圆锥曲线上一点的切线方程问题变换思想的运用

5.6.15轨迹方程的求法交集思想的运用

5.6.16处理圆锥曲线问题应注意的一个方面对称思想的运月

5.6.17设而不求整体思想的运用

5.6.18简化计算的妙方对称思想的运用

5.6.19一道抛物线问题的求解结构思想的运用

5.6.20圆锥曲线的光学性质及应用结构思想的运用

5.7排列组合与二项式定理问题

5.7.1两个计数原理的理解与运用类分思想的运用

5.7.2从集合的角度看排列组合集合思想的运用

5.7.3二项式定理的应用举例模型思想的运用

5.8概率问题

5.8.1对事件及概率的辨析理解类比思想的运用

5.8.2从集合角度看事件与概率集合思想的运用

5.9向量问题

5.9.1向量的概念及加减运算模型思想的运用

5.9.2平面向量的基本定理及应用符号化与变元表示思想的运用

5.9.3平面向量的数量积及应用类比与转化思想的运用

5.9.4空间向量在立体几何中的应用数形结合思想的运用

5.10数列问题

5.10.1关于数列一般概念的理解结构思想的运用

5.10.2对等差数列的深化认识结构思想的运用

5.10.3用函数观点处理等差数列问题函数思想的运用

5.10.4对等比数列的深刻认识类比与结构思想的运用

5.10.5等差、等比中项的巧用化归思想的运用

5.10.6可化为等差、等比数列的数列问题模型思想的运用

5.10.7数列求和的若干方法化归思想的运用

5.11不等式问题

5.11.1由实数的性质到不等式的性质化归思想的运用

5.11.2实系数一元不等式的统一解法函数思想的运用

5.11.3两个不等式的一般形式模型思想的运用

5.11.4二元与三元均值不等式的巧用转换思想的运用

5.11.5构作函数证明不等式函数思想的运用

5.11.6运用放缩法证明不等式化归思想的运用

5.12复数问题

5.12.1对复数概念的深刻认识对应思想的运用

5.12.2复数丰富多彩的性质变换思想的运用

5.12.3处理复数问题的一条有效途径方程思想的运用

5.12.4借图速解复数题数形结合思想的运用

5.12.5复数帮了三角的忙横向化归思想的运用

5.12.6复数在求解代数、平面几何问题中的应用模向化归思想的运用

5.12.7复数与解析几何问题化归思想的运用

思考题

思考题参考解答

参考文献

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编后语

　　本书为中学数学拓展丛书之一。在书中，作者提出了作为数学思想的奠基性或总括性成分的基本数学思想观点，以及基本数学思想是由两大“基石”、两大“支柱”、两大“主梁”思想等三大块有机组成的探讨，以企图给数学思想构建一种理论体系。本书可作为高等师范院校教育学院、教师进修学院数学专业及国家级、省级中学数学骨干教师培训班的教材或教学参考书。　　本书共分五章。第一章数学思想概述；第二章两大“基石”思想；第三章两大“支柱”思想；第四章两大“主梁”思想；第五章数学思想的运用与领悟。本书可作为高等师范院校教育学院、教师进修学院数学专业及国家级、省级中学数学骨干教师培训班的教材或教学参考书。【作者简介】　　沈文选，男，1948年生。湖南师范大学数学与计算机科学学院教授、硕士生导师，湖南师范大学数学奥林匹克研究所所长，中国数学奥林匹克高级教练，湖南数学奥林匹克培训的主要组织者与授课者(湖南中学生已获得IH0金牌10块，银牌2块)。已出版《竞赛数学教程》、《奥林匹克数学中的代数问题》、《奥林匹克数学中的几何问题》、《奥林匹克数学中的组合问题》等数学竞赛著作10余部，在《数学教育学报》等杂志上发表《奥林匹克数学研究与数学奥林匹克教育》、《奥林匹克中的几何问题研究与几何教学探讨》等数学竞赛论文40余篇。多年来为全国初、高中数学联赛，数学冬令营提供试题20余道，是1997年全国高中数学联赛、2002年全国初中数学联赛、2003年第18届数学冬令营等命题组成员。长期从事数学奥林匹克教育研究、中学数学教育研究、初等数学研究，并出版学术著作近20部，发表论文200余篇。任全国初等数学研究协调组成员、全国高师教育研究会常务理事、全国教育数学研究会常务理事、《数学教育学报》编委、湖南省高校数学教育研究会理事长、湖南省数学会中学数学专业委员会副主任、《现代中学数学》常务副主编等。