数学桥

序言

1.数

1.1 计数

1.1.1 自然数

1.1.1.1 自然数的构造

1.1.1.2 算术

1.1.2 整数

1.1.2.1 零和负整数的性质

1.1.3 有理数

1.1.4 序

1.1.4.1 使N，Z和Q有序

1.1.5 从一到无穷大

1.1.5.1 无穷集的比较

1.1.6 无穷算术

1.1.7 超越

1.2 实数

1.2.1 怎样产生无理数

1.2.1.1 实数的代数描述

1.2.2 有多少个实数

1.2.3 代数数和超越数

1.2.3.1 超越数的例子

1.2.4 连续统假设和更大的无穷大

1.3 复数及其高维同伴

1.3.1 复数i的发现

1.3.2 复平面

1.3.2.1 复数在几何中的应用

1.3.3 棣莫弗定理

1.3.4 多项式和代数基本定理

1.3.4.1 多项式方程的求解

1.3.5 还有其他的数吗

1.3.5.1 四元数

1.3.5.2 凯莱数

1.4 素数

1.4.1 计算机、算法和数学

1.4.2 素数的性质

1.4.3 素数有多少个

1.4.3.1 素数的分布

1.4.4 欧几里得算法

1.4.4.1 欧几里得算法的速度

1.4.4.2 连分数

1.4.5 贝祖引理和算术基本定理

1.5 模整数

1.5.1 模为素数的算术

1.5.1.1 一个关于素数、的公式

1.5.1.2 费马小定理

1.5.2 RSA密码

1.5.2.1 建立RSA体制

1.5.2.2 一种RSA密码体制

2.分析

2.1 无穷极限

2.1.1 三个例子

2.1.1.1 阿基里斯和乌龟

2.1.1.2 连续复合利率

2.1.1.3 方程的迭代解法

2.1.2 极限的数学描述

2.1.2.1 收敛的一般准则

2.1.3 极限应用于无穷和

2.1.3.1 一个例子：几何级数

2.2 无穷和的收敛与发散

2.2.1 调和级数

2.2.2 收敛判别法

2.2.2.1 比较判别法

2.2.2.2 交错级数判别法

2.2.2.3 绝对收敛

2.2.2.4 比率判别法

2.2.3 幂级数及其收敛半径

2.2.3.1 确定收敛半径

2.2.4 无穷级数的重新排列

2.3 实函数

2.3.1 实值函数的极限

2.3.2 连续函数

2.3.3 微分

2.3.3.1 例子

2.3.3.2 微分中值定理

2.3.3.3 洛必达法则

2.3.4 面积与积分

2.3.5 微积分基本定理

2.4 对数函数和指数函数以及e

2.4.1 Inx的定义

2.4.2 expx的定义

2.4.3 欧拉数e

2.4.3.1 e的无理性

2.5 幂级数

2.5.1 泰勒级数

2.5.1.1 作为警示的例子

2.5.1.2 实函数的复扩张

2.6 与分析学观点下的三角学

2.6.1 角度与扇形面积

2.6.1 的一个级数展开式

2.6.2 正切、正弦和余弦

2.6.2.1 用幂级数定义sinx和cosx

2.6.3 傅里叶级数

2.7 复函数

2.7.1 指数函数和三角函数

2.7.2 复函数的几个基本性质

……

3.代数

4.微积分与微分方程

5.概率

6.理论物理

附录A 给读者的练习

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